组合数学 Hopscotch

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/40451

题意：从（0,0）走到（N,N），每次横坐标最少走x，纵坐标最少走y，求问走到终点最少有多少种走法。

分析：先从一维上来看，只规定了最少，而没有规定最大，那么理论上可以从每次走x步（一共有n/x步）到每次走n步（一共有1步）这么多种走法。这只是一维情况下的，而二维虽然每次走多少步是相互独立的，但是走的步数却是共同的，比如说n=6,x=2,y=3如果想走最多的步数的话，x需要走3步，而y只能走两步，所以x也必须走两步。即走的步数被走的少的那一个限制。

然后开始分析公式，这其实就是一个分组问题，从一维看，即将n步分到m（m是走的步数）组里，且每个组都得走至少x步，我们可以每组先分x-1步，之后每组分至少一步就可以了，这可以用隔板法来实现，即在n个物品之间的n-1个空里插入m-1个板，便将n个物品分成了m组

公式即为

代码中直接是组合数的模板，c的第一个参数是下标，第二个是上标，fac是阶乘，inv是逆元，使用是定义maxn，mod，初始化init()函数即可

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll mod = 1000000007;
const int maxn = 1000010;
 
ll qpow(ll a,ll x){
    ll ret=1;
    while (x){
        if (x&1)
            ret = ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        x>>=1;
    }
    return ret;
}
ll fac[maxn],inv[maxn];
 
ll init(){
    fac[0]=1;
    for (int i=1;i<maxn;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[maxn-1]=qpow(fac[maxn-1],mod-2);
    for (int i=maxn-2;i>=0;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    return 0;
}
 
ll c(ll n,ll m){
    if (n<m) return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
 
ll dp1[maxn],dp2[maxn];
 
 
int main() {
    init();
    ll n,x,y;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&x,&y);

    for (int i=1;i*x<=n;i++)
    {
        dp1[i]=c(n-(x-1)*i-1,i-1);
    }
 
    for (int i=1;i*y<=n;i++)
    {
        dp2[i]=c(n-(y-1)*i-1,i-1);
    }
 
    ll ans = 0;
    for (int i=1;i*x<=n&&i*y<=n;i++)
        ans =( ans + dp1[i]*dp2[i]%mod)%mod ;
 
    printf("%lld\n",ans);
 
    return 0;
}