【总结】组合数学

容斥原理

反演原理
\[ 若\ g_{n}=\sum_{i=0}^{n}a_{ni}f_{i}\ ,则 f_{n}=\sum_{i=0}^{n}b_{ni}g_{i}\ 成立的充要条件为 \sum_{j=i}^{n}b_{nj}a_{ji}=[n==i] \]
\(proof:\)
\[ \begin{aligned} f_{n}&=\sum_{i=0}^{n}b_{ni}g_{i}\\ &=\sum_{i=0}^{n}b_{ni}\sum_{j=0}^{i}a_{ij}f_{j}\\ &=\sum_{i=0}^{n}f_{i}\sum_{j=i}^{n}b_{nj}a_{ij} \end{aligned} \]
二项式反演
\[ f_{n}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\big(\big)g_{i} \]