Some Theorems
Newton二项式定理
\((a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}x^iy^{n-i}\)
注意当\(a+b\)为常量，\(a\)为变量时可以求导得出一些有趣的恒等式。
Some Identities
\({n\choose m}={n\choose n-m}\)
\({n\choose k}=\frac kn{n-1\choose k-1}\)
\({n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n\choose k-1}\)
\({n\choose m}{m\choose k}={n\choose k}{n-k\choose m-k}\)
\(\sum\limits_{i=k}^m{n\choose i}{m\choose k-i}={n+m\choose k}\)
\(\sum\limits_{i=0}^n{i\choose k}={n+1\choose k+1}\)
\(\sum\limits_{i=1}^m{m\choose i}{n\choose i}={n+m\choose m}\)
\(\sum\limits_{i=0}^n{n-i\choose i}=F_{n+1}\)
\(\sum\limits_{i=0}^m{n+i\choose i}={n+m+1\choose m}\)
\(\sum\limits_{i=0}^n{m\choose i}{m-i\choose n-i}=2^n{m\choose n}\)
鸽巢原理/抽屉原理
\(n\)只鸽子住在\(m\)个巢中，至少有一个巢住着至少\(\lceil\frac nm\rceil\)只鸽子。
容斥原理
\(\left|\bigcup\limits_{i=1}^nA_i\right|=\sum\limits_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum\limits_{1\le a_1<\cdots<a_m\le n}\left|\bigcap\limits_{i=1}^m A_{a_i}\right|\)
\(\left|\bigcap\limits_{i=1}^n\overline{A_i}\right|=\left|U\right|-\left|\bigcup\limits_{i=1}^nA_i\right|\)
广义容斥原理
令\(\alpha(m)=\begin{cases}\sum\limits_{\left|S\right|=m}\left|\bigcap\limits_{x\in S}A_x\right|&m\ne0\\\left|U\right|&m=0\end{cases}\)\(\beta(m)=\begin{cases}\sum\limits_{\left|S\right|=m}\left|(\bigcap\limits_{x\in S}A_x)\cap(\bigcap\limits_{x\in\overline S}\overline{A_x)}\right|&m\ne0\\\left|\bigcap\limits_{i=1}^n\overline{A_i}\right|&m=0\end{cases}\)
则有\(\beta(m)=\sum\limits_{k=m}^n(-1)^{k-m}{k\choose m}\alpha(k)\).