蓝桥杯：最长相同子序列（LCS）问题 动态规划解法

蓝桥杯：最长相同子序列（LCS）问题 动态规划解法

问题描述
　　设x(i), y(i), z(i)表示单个字符，则X={x(1)x(2)……x(m)}，Y={y(1)y(2)……y(n)}，Z={z(1)z(2)……z(k)},我们称其为字符序列，其中m,n和k分别是字符序列X，Y，Z的长度，括号()中的数字被称作字符序列的下标。
　　如果存在一个严格递增而且长度大于0的下标序列{i1,i2……ik}，使得对所有的j=1,2,……k，有x(ij)=z(j)，那么我们称Z是X的字符子序列。而且，如果Z既是X的字符子序列又是Y的字符子序列，那么我们称Z为X和Y的公共字符序列。
　　在我们今天的问题中，我们希望计算两个给定字符序列X和Y的最大长度的公共字符序列，这里我们只要求输出这个最大长度公共子序列对应的长度值。
　　举例来说，字符序列X=abcd，Y=acde，那么它们的最大长度为3，相应的公共字符序列为acd。
输入格式
　　输入一行，用空格隔开的两个字符串
输出格式
　　输出这两个字符序列对应的最大长度公共字符序列的长度值
样例输入

aAbB aabb

样例输出

2

数据规模和约定
　　输入字符串长度最长为100，区分大小写。

思路

和记忆搜索类似，保存已经计算过的结果

// max_len[i][j]表示：[s1的前i长度] 与 [s2前j长度] 的 最长相同子序列 的长度 
int max_len[maxlen][maxlen];	

不同的点在于：

• 记忆搜索是从结果出发（直接求两完整串的最长相同子序列）逐渐将问题拆解
• 而动态规划是从小问题出发（先求两串的长度为1的子串的最长相同子序列）逐渐将小结果拼接为大结果，一步一步推得最终的结果
• 不用递归

约定：

s1串的前 len1 长度的子串为 sub1， s2串的前 len2 长度的子串为 sub2

【s1串的前 len1 长度的子串】 与 【s2串的前 len2长度的子串】 的最长相同子序列长度为 sub_len

【s1串的前 len1-1 长度的子串】 与 【s2串的前 len2长度的子串】 的最长相同子序列长度为 sub_len1

【s1串的前 len1 长度的子串】 与 【s2串的前 len2-1长度的子串】 的最长相同子序列长度为 sub_len2

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状态转移方程

• 那么如果 sub1 和 sub2 的最后一位如果相同，那么他们的最长相同子序列的长度就是 sub_len + 1
• 如果 sub1 和 sub2 的最后一位不同，那么他们的最长相同子序列的长度就是 max(sub_len1, sub_len2)

AC完整代码

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

#define max(a, b) ((a>b) ? (a) : (b))
#define maxlen 114

string s1, s2;

// max_len[i][j]表示：[s1的前i长度] 与 [s2前j长度] 的 最长相同子序列 的长度 
int max_len[maxlen][maxlen];	

int main()
{
	 cin>>s1>>s2;
	 int i, j;
	 int len1 = s1.length();
	 int len2 = s2.length();
	 
	 // 初始化：如果长度为0，最长相同子序列长度为0 
	 for(i=0; i<=len1; i++)
	 {
	 	max_len[i][0] = 0;
	 }
	 for(i=0; i<=len2; i++)
	 {
	 	max_len[0][i] = 0;
	 }
	 
	 // 从小问题出发：先求两串的长度为1的子串的最长相同子序列
	 for(i=1; i<=len1; i++)
	 {
	 	for(j=1; j<=len2; j++)
	 	{
	 		// 下标从0开始，故-1 
	 		if(s1[i-1] == s2[j-1])
	 		{
	 			max_len[i][j] = max_len[i-1][j-1] + 1;
	 		}
	 		else
	 		{
	 			int l1 = max_len[i-1][j];
	 			int l2 = max_len[i][j-1];
	 			
	 			max_len[i][j] = max(l1, l2);
	 		}
	 	}
	 }
	 
	 cout<<max_len[len1][len2]<<endl;
	
	return 0;
}