蓝桥杯：概率计算 动态规划解法

蓝桥杯：概率计算 动态规划解法

问题描述

生成n个∈[a,b]的随机整数，输出它们的和为m的概率。
输入格式
　　一行输入四个整数依次为n，a，b，x，用空格分隔。
输出格式
　　输出一行包含一个小数位和为m的概率，小数点后保留四位小数

样例输入

2 1 3 4

样例输出

0.3333

数据规模和约定

对于50%的数据，n≤5.
　　对于100%的数据，n≤100,b≤100.

坑

一开始我是直接记忆搜索去解的

• 所有的情况一共有 (b-1+1)ⁿ 种
• 记忆搜索求解所有可能的前n个数字加和为 m 的情况数量为 x
• 概率 = x / (b-1+1)ⁿ

然后我发现后台数据很大，以至于使用

typedef long long ll;

也不能够表达出所有的情况 (b-1+1)ⁿ

于是换一种方法

思路

状态定义：

#define MAXLEN 114
#define MAXSUM 11451
// dp[i][j]表示：前 i 个数字加和等于 j 的概率 
double dp[MAXLEN][MAXSUM];

状态转移：

在第i个数字选择了x的情况下
dp[i][j] 的概率，就是dp[i-1][j-x]的概率

（或者说dp[i-1][j-x]的概率是组成dp[i][j] 的概率的一部分，因为我们不可能只考虑选x，应该考虑选取a到b之间的所有整数）

所以推得最终状态转移方程：

Sum表示求和，(b-a+1)是第i个数字选择x的概率，x范围[a, b]
dp[i][j] = Sum(dp[i-1][j-x]) * (b-a+1)

for(int i=2; i<=n; i++)
{
	for(int j=0; j<=m; j++)
	{
		for(int k=a; k<=b; k++)
		{
			if(j >= k)
			{
				dp[i][j] += dp[i-1][j-k];
			}
		}
		dp[i][j] /= (b-a+1);
	}
}

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

#define MAXLEN 114
#define MAXSUM 11451

// dp[i][j]表示：前 i 个数字加和等于 j 的概率 
double dp[MAXLEN][MAXSUM];
int n, a, b, m;

int main()
{
	cin>>n>>a>>b>>m;
	
	// 初始化全为0 
	for(int i=0; i<=n; i++)
	{
		for(int j=0; j<=m; j++)
		{
			dp[i][j] = 0;
		}
	}
	
	// 计算第一个数能表示 i 的概率  
	for(int i=0; i<=m; i++)
	{
		if(a<=i && i<=b)
		{
			dp[1][i] = 1.0 / (b-a+1);
		}
	}
	
	for(int i=2; i<=n; i++)
	{
		for(int j=0; j<=m; j++)
		{
			for(int k=a; k<=b; k++)
			{
				if(j >= k)
				{
					dp[i][j] += dp[i-1][j-k];
				}
			}
			dp[i][j] /= (b-a+1);
		}
	}

	printf("%.4lf\n", dp[n][m]);
	
	return 0;
}