A和B的公共子序列中长度最长的（包含元素最多的）叫做A和B的公共子序列。
仍然用序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5
它们的最长公共子序列是：
1,4,8,7
1,4,6,7
最长公共子序列的长度是4 。
请注意: 最长公共子序列不唯一。
我们用Ax表示序列A的连续前x项构成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 我们用LCS(x, y)表示它们的最长公共子序列长度，那原问题等价于求LCS(m,n)。为了方便我们用L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。
让我们来看看如何求LCS(x, y)。我们令x表示子序列考虑最后一项
（1） Ax ＝ By
那么它们L(Ax, By)的最后一项一定是这个元素！
为什么呢？为了方便，我们令t = Ax = By, 我们用反证法：假设L(x,y)最后一项不是t，
则要么L(x,y)为空序列（别忘了这个），要么L(x,y)的最后一项是Aa＝Bb ≠ t, 且显然有a < x, b < y。无论是哪种情况我们都可以把t接到这个L(x,y)后面,从而得到一个更长的公共子序列。矛盾！
如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1，(多说一句角标为0时，认为子序列是空序列)，则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。为什么呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1)，则它一定比L(x - 1, y - 1)短（注意L（，）是个集合！），那么它后面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短，这与L(x, y)是最长公共子序列矛盾。
因此L(x, y) = L(x - 1, y - 1) 最后接上元素t
LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1
（2） Ax ≠ By
仍然设t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。
则t ≠ Ax和t ≠ By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值嘛！
（2.1） 如果t ≠ Ax，则有L(x, y)= L(x - 1, y)，因为根本没Ax的事嘛。
LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)
（2.2） 如果t ≠ By,l类似L(x, y)= L(x , y - 1)
LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)
可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
看看目前我们已经得到了什么结论：
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
这时一个显然的递推式，光有递推可不行，初值是什么呢？
显然，一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列！所以我们有:
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
(3) 0 如果x = 0或者y = 0
到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。我们实际上计算了一个(n + 1)行(m + 1)列的表格（行是0..n，列是0..m)，也就这个二维度数组LCS(,)。
for(int i = 1; i <= A_len; ++i) {
for(int j = 1; j <= B_len; ++j) {
if(A[i - 1] == B[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
仍然考虑那个递推式，我们LCS(x,y)的值来源的三种情况：
（1） LCS(x – 1, y – 1) + 1如果Ax ＝ By
这对应L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax
（2.1） LCS(x – 1, y) 如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) ≥LCS(x, y – 1)
这对应L(x,y)= L(x – 1, y)
（2.2） LCS(x, y – 1) 如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) <LCS(x, y – 1)
这对应L(x,y) = L(x, y – 1)
（3） 0 如果 x =0或者y = 0
这对应L(x,y)=空序列
注意(2.1)和(2.2) ，当LCS(x – 1, y) ＝ LCS(x, y – 1)时，其实走哪个分支都一样，虽然长度时一样的，但是可能对应不同的子序列，所以最长公共子序列并不唯一。
神奇吧？又一个类似的递推公式。可见我们在计算长度LCS(x,y)的时候只要多记录一些信息，就可以利用这些信息恢复出一个最长公共子序列来。就好比我们在迷宫里走路，走到每个位置的时候记录下我们时从哪个方向来的，就可以从终点回到起点一样。
另外，说一下复杂度？
时间复杂度时O(n * m)，空间也是O(n * m)
那么在这里插入一道例题：
输入
第1行：字符串A 第2行：字符串B (A,B的长度 <= 1000)输出
输出最长的子序列，如果有多个，随意输出1个。输入示例
abcicba abdkscab
输出示例abca
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
char str1[1002],str2[1002];
int d[1002][1002];
int main()
{
while(gets(str1) && gets(str2))
{
int len1=strlen(str1),len2=strlen(str2);
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=len1-1; i>=0; i--) //这里用来用动态规划求最长公共子序列
for(int j=len2-1; j>=0; j--)
{
if(str1[i]==str2[j])
d[i][j]=d[i+1][j+1]+1;
else
d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i][j+1]);
}
int i = 0, j = 0;
while (i < len1 && j < len2){ //这里用来输出最长公共子序列
if (str1[i] == str2[j]){
printf("%c",str1[i]);
i++;
j++;
}
else if (d[i+1][j] >= d[i][j+1])
i++;
else
j++;
}
printf("\n");
}
return 0;
}