蓝桥杯：最长滑雪道 动态规划解法
递归的解法咱之前写过
https://blog.csdn.net/weixin_44176696/article/details/103974371
可是对于很大的矩阵，递归会非常慢，而且是要对所有顶点递归啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 时间可能会不够用
- 后来发现其实可以用最长路径的动态规划解法去解，即求最低点出发的到所有格子的最长路径
问题描述
小袁非常喜欢滑雪， 因为滑雪很刺激。为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。 小袁想知道在某个区域中最长的一个滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。如下：
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-…-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。
你的任务就是找到最长的一条滑坡，并且将滑坡的长度输出。 滑坡的长度定义为经过点的个数，例如滑坡24-17-16-1的长度是4。
输入格式
输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1<=R, C<=10)。下面是R行，每行有C个整数，依次是每个点的高度h（0<= h <=10000）。
输出格式
只有一行，为一个整数，即最长区域的长度。
样例输入
5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
样例输出
25
思路
- 选取未被选取过的可滑路径最长的一个方块 (x, y)，最长长度为 p
- 更新 (x, y) 上下左右的四个方块：若 p+1 > 周围方块的最长可滑路径 则周围方块的最长可滑路径 = p+1
- 因为是最长路径，但是不好拓扑排序，需要 访问重置 + 迭代回退
（访问重置的原因具体可看咱的一篇：https://blog.csdn.net/weixin_44176696/article/details/103702187）
实现
#define maxlen 12
#define maxh 11451
int a[maxlen][maxlen]; // 当前雪峰的高度
int max_path[maxlen][maxlen]; // 从(i, j)点出发的最长可滑路径长度
int visited[maxlen][maxlen]; // 从(i, j)点出发的最长可滑路径是否被选择过
int r, c; // 行数，列数
// 总共有 r*c 个格子，至少需要更新 r*c 次
for(int k=0; k<r*c; k++)
{
// 选择最长的一条没被选过的路
// 该路径从 (midx_x, midx_y) 出发
int midx_x = 1; // max index x
int midx_y = 1; // max index y
int max = -1145141919;
for(int i=1; i<=r; i++)
{
for(int j=1; j<=c; j++)
{
if(visited[i][j]==0 && max_path[i][j]>max)
{
max = max_path[i][j];
midx_x = i;
midx_y = j;
}
}
}
visited[midx_x][midx_y] = 1;
// 更新四个方向的最长可滑路径长度
// 条件1 说明雪峰 (midx_x, midx_y) 高度大于 (midx_x-1, midx_y)，即可达
// 条件2 说明从 (midx_x-1, midx_y) 出发的最长可滑路径可以被更新
// update up
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x-1][midx_y] && max_path[midx_x-1][midx_y]<max+1)
{
max_path[midx_x-1][midx_y] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x-1][midx_y] = 0;
k -= 1;
}
// update down
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x+1][midx_y] && max_path[midx_x+1][midx_y]<max+1)
{
max_path[midx_x+1][midx_y] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x+1][midx_y] = 0;
k -= 1;
}
// update left
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x][midx_y-1] && max_path[midx_x][midx_y-1]<max+1)
{
max_path[midx_x][midx_y-1] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x][midx_y-1] = 0;
k -= 1;
}
// update right
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x][midx_y+1] && max_path[midx_x][midx_y+1]<max+1)
{
max_path[midx_x][midx_y+1] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x][midx_y+1] = 0;
k -= 1;
}
}
AC完整代码
#include <iostream>
#include <deque>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxlen 12
#define maxh 11451
int a[maxlen][maxlen]; // 当前雪峰的高度
int max_path[maxlen][maxlen]; // 从(i, j)点出发的最长可滑路径长度
int visited[maxlen][maxlen]; // 从(i, j)点出发的最长可滑路径是否被选择过
int r, c; // 行数，列数
int main()
{
// padding init
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(max_path, 0, sizeof(max_path));
memset(visited, 0, sizeof(visited));
cin>>r>>c;
for(int i=1; i<=r; i++)
{
for(int j=1; j<=c; j++)
{
cin>>a[i][j];
}
}
int min_x = 0;
int min_y = 0;
int min = 1145141919;
for(int i=1; i<=r; i++)
{
for(int j=1; j<=c; j++)
{
if(a[i][j] < min)
{
min = a[i][j];
min_x = i;
min_y = j;
}
}
}
// 初始路径，选择最低点
max_path[min_x][min_y] = 1;
for(int k=0; k<r*c; k++)
{
// 选择最长的一条没被选过的路
// 该路径从 (midx_x, midx_y) 出发
int midx_x = 1; // max index x
int midx_y = 1; // max index y
int max = -1145141919;
for(int i=1; i<=r; i++)
{
for(int j=1; j<=c; j++)
{
if(visited[i][j]==0 && max_path[i][j]>max)
{
max = max_path[i][j];
midx_x = i;
midx_y = j;
}
}
}
visited[midx_x][midx_y] = 1;
// 更新四个方向的最长可滑路径长度
// 条件1 说明雪峰 (midx_x, midx_y) 高度大于 (midx_x-1, midx_y)，即可达
// 条件2 说明从 (midx_x-1, midx_y) 出发的最长可滑路径可以被更新
// update up
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x-1][midx_y] && max_path[midx_x-1][midx_y]<max+1)
{
max_path[midx_x-1][midx_y] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x-1][midx_y] = 0;
k -= 1;
}
// update down
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x+1][midx_y] && max_path[midx_x+1][midx_y]<max+1)
{
max_path[midx_x+1][midx_y] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x+1][midx_y] = 0;
k -= 1;
}
// update left
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x][midx_y-1] && max_path[midx_x][midx_y-1]<max+1)
{
max_path[midx_x][midx_y-1] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x][midx_y-1] = 0;
k -= 1;
}
// update right
if(a[midx_x][midx_y]<a[midx_x][midx_y+1] && max_path[midx_x][midx_y+1]<max+1)
{
max_path[midx_x][midx_y+1] = max + 1;
// 访问重置 + 多更新一次
visited[midx_x][midx_y+1] = 0;
k -= 1;
}
}
int max = -114514;
for(int i=1; i<=r; i++)
{
for(int j=1; j<=c; j++)
{
if(max_path[i][j] > max)
{
max = max_path[i][j];
}
}
}
cout<<max<<endl;
return 0;
}
/*
样例二
8 8
39 48 49 38 47 46 45 59
28 22 39 38 49 44 31 10
27 48 49 38 51 52 35 10
26 26 26 38 26 26 26 26
26 26 26 38 26 26 26 26
24 45 58 38 56 55 38 13
23 44 43 38 41 40 39 14
22 22 39 38 49 44 31 10
答案是 8
*/
