16. 二元随机变量，离散型随机变量分布律

二元随机变量，离散型随机变量分布律

---

二元随机变量

---

定义： 设 $E$ 是一个随机实验，样本空间 $S=\{e\}$；设 $X=X(e)$ 和 $Y=Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量，由它们构成的向量 $(X,Y)$ 称为二维随机向量或二元随机变量。

二元离散型随机变量

---

定义： 若二元随机变量 $(X,Y)$ 全部可能取到的不同值是有限时或可列无线对，则称 $(X,Y)$ 是二元离散型随机变量。

（一）离散型随机变量的联合概率分布律

设 $(X,Y)$ 所有可能取值为 $(x_i,y_j)$，称 $P(X=x_i,Y=y_j)=P_{ij}，i,j=1,2,\cdots$ 为二元离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布律。也可简称 $(X,Y)$ 的分布律。可以用如下图的表格来表示

$\begin{array}{c|ccccc} _X\bcancel{\quad^Y} &y_1&y_2&\cdots&y_j&\cdots \\ \hline x_1 &p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1j}&\cdots \\ x_2 &p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2j}&\cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \\ x_i &p_{i1}&p_{i2}&\cdots&p_{ij}& \cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \end{array}$

联合分布律的性质

1. $p_{ij}\geq 0,$
2. $\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1$
3. $P((X,Y)\in D)=\sum_{(x_i,y_j)\in D}p_{ij}$

其中 $p_{ij}=P(X=x_j,Y=y_j),i,j=1,2,\cdots$

---

例 1： 一盒子中有 10 件产品，其中 6 件正品 ，4 件次品。从中取 1 件产品检验，不放回，再取 1 件检验。引入如下的随机变量 $X$ 与 $Y$，

$X=\begin{cases} 0, &\text{第 1 次取到次品} \\ 1, &\text{第 1 次取到正品}， \end{cases} \quad Y=\begin{cases} 0, &\text{第2次取到次品} \\ 1, &\text{第2次取到正品}, \end{cases}$

求 $(X,Y)$ 的联合分布律。

解： $(X，Y)$ 可能的取值数对有： $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).$

由乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B|A)$ 得：

$P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{3}{9}=\cfrac{2}{15}$

同理得： $P(X=0,Y=1)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{6}{9}=\cfrac{4}{15}$

$P(X=1,Y=0)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{4}{9}=\cfrac{4}{15},P(X=1,Y=1)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{15}$

$\begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 \\ \hline 0 & \cfrac{2}{15} & \cfrac{4}{15} \\ 1 & \cfrac{4}{15} & \cfrac{5}{15} \end{array}$

---

例 2： 设随机变量 $X$ 在 1、2、3、4 四个正数中等可能地取一个值，另外一个随机变量 $Y$ 在 $1\sim X$ 中等可能地取一整数值，试求 $(X,Y)$ 的联合概率分布及 $X、Y$ 的分布。

解： $X、Y$ 的取值情况均为 1,2,3,4；当 $i,j=1,\cdots,4$ 时

$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &i<j \end{cases}$

联合概率分布律如下：

$\begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{8} & \cfrac{1}{8} & 0 & 0 \\ \\ 3 & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & 0 \\ \\ 4 & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} \end{array}$

求 $X、Y$ 分布律

$P(X=i)=1/4, i=1,2,3,4.$

$事件 \{X=1\},\cdots,\{X=4\}$ 是 $\{Y=j\}$ 前导事件组，由全概率公式得：

$P(Y=j)=\sum_{i=1}^{4}P(X=i)P(Y=j|X=i),j=1,2,3,4.$

所以， $X、Y$ 分布律就是在联合分布律表中横向、纵向相加！

---

例 3： 袋中有 1 个红球， 2 个黑球，3 个白球，现有放回地取两次，每次取一球，以 $X,Y,Z$ 分别表示两次取球所得的红、黑、白球个数。求：

（1） $P(X=1|Z=0)$

（2） $P(X=1,Z=0)$

（3） $(X,Y)$ 概率分布。

解：

（1） 这一问表示的意思是取到不是白球的前提下，取到 1 个红球的概率，所以：

$\quad P(X=1|Z=0)=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{3}+\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{4}{9}$

（2）这一问表达的是取出 1 个红球跟 0 个白球的概率，所以：
$\quad P(X=1,Z=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{2}{6}+\cfrac{2}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{9}$

这里需要注意两问的区别!

（3） $X，Y$ 的取值范围均为 0, 1, 2.

$P(X=0,Y=0)=\cfrac{3}{6}\times\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{4}\quad\quad$ 2 球均为白球

$P(X=0,Y=1)=\cfrac{2}{6}\times\cfrac{3}{6}\times2=\cfrac{1}{3}\quad\quad$ 黑白或者白黑

$P(X=1,Y=2)=0\quad\quad$ 这里总数超过 2 个，不符合条件。

$P(X=2,Y=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}\quad\quad$ 两球均为红球

其余情况类似可得！

所以 $(X,Y)$ 的概率分布为：

$\begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{3} & \cfrac{1}{9} \\ \\ 1 & \cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{9} & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{36} & 0 & 0 \\ \\ \end{array}$

---