树状数组讲解

树状数组能实现的功能线段树都能实现，所以之前是没打算仔细看它的。但今天做了一道题，，让我感受到了树状数组相对于线段树所具有的的优势。
看下面三张图。
第一张图unaccepted的都是用线段树写的出现了tle，第二张图是用线段树写的优化后ac的详细信息，第三张是用树状数组写的。仔细看看后两张图的第九第十组样例，，不难发现线段树太慢了（相对而言）。于是，，我还是研究研究树状数组吧。。逃

上图是树状数组的结构，其核心是lowbit（）函数。

int lowbit(int x)
{
	return x & (-x);
}

lowbit返回值是x的二进制里第一个1所在位置的对应值。关于lowbit函数有五个特点：

1.lowbit的值与节点所在的层数是对应的，值越大，层数越高。
2.lowbit（x）的值为x这个节点过管辖区间范围的大小。
3.节点x加上lowbit（x）的值为x的父亲节点。
4.节点x减去lowbit（x）的值为x所管辖范围最左边的前一位，即若管辖区间为【l， r】，其值为l - 1。
5.节点x分别减去1， 2， 4， 8…即2的k次方为其子节点。

树状数组的操作基本上都是围绕着五点展开的。这些能掌握，树状数组的就能掌握了。

最后，附上部分代码

单点修改， 区间查询：

int lowbit(int x)
{
	return x & (-x);
}

void update(int i, int val)
{
	for( ; i <= n; i += lowbit(i))
		t[i] += val;
}

int query(int i)
{
	int ans = 0;
	for(; i > 0; i -= lowbit(i))
		ans += t[i];
	return ans;
}

区间最值，区间查询：

void update(int i)
{
	for(; i<= n; i += lowbit(i))
	{
		t[i] = a[i];
		for(int j = 1; j < lowbit(i); j <<= 1)
		{
			t[i] = max(t[i], t[i - j]);
		}
	}
}

int query(int l, int r)
{
	int ans = 0;
	while(r >= l)
	{
		ans = max(ans, a[r--]);
		for(; r - lowbit(r)  >= l; r -= lowbit(r))//不能写为r - lowbit(r) + 1 >= l
		{
			ans = max(ans, t[r]);
		}
	}
	return ans;
}

查询里面不能写为 r - lowbit（r） + 1 >= l 的原因是若查询【1,5】时，在查询4时 r - lowbit(4) = 0，而 r - lowbit(4) + 1 = 1 >= 1， 此时会陷入死循环。。