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int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
int getsum(int x)
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{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=tree[i];
return ans;
}
int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=tree[i];
return ans;
}
这篇笔记 会详细的讲解，使得队员们对树状数组
彻底入门 而不是懵懵懂懂。
以上先给出 最常见的，三个函数。(单点更新，区间查询)
网上的解释以及分析有很多，这里是我的一点总结和体会归纳一下，并且在周三(2016.12.07)的讲座之后会发布在团队笔记中，
请队员们细细阅读，并且
补题。
下面开始
*************************************************分割线
树状数组 重点是在
树状的数组
大家都知道二叉树吧
叶子结点代表A数组A[1]~A[8]
.......
现在变形一下
现在定义每一列的顶端结点C[]数组
如下图
C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和//
这里以求和举例
如图可以知道
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+
A[2]
;
C[3]=A[3];
C[4]=
A[1]+
A[2]+A[3]+A[4]
;
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=
A[1]+
A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]
;
下面观察如下图
将C[]数组的结点序号转化为
二进制
1=(001)
C[1]=A[1];
2=(010)
C[2]=A[1]+
A[2]
;
3=(011)
C[3]=A[3];
4=(100)
C[4]=
A[1]+
A[2]+A[3]+A[4]
;
5=(101)
C[5]=A[5];
6=(110)
C[6]=A[5]+A[6];
7=(111)
C[7]=A[7];
8=(1000)
C[8]=
A[1]+
A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]
;
对照式子可以发现 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;
可以自行带入验证;
现在引入lowbit(x)
lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1 换言之 lowbit(x)=2^k k的含义与上面相同 理解一下
下面说代码
int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
//-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
//例如 :
// t=6（0110） 此时 k=1
//-t=-6=(1001+1)=(1010)
// t&(-t)=(0010)=2=2^1
int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
//-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
//例如 :
// t=6（0110） 此时 k=1
//-t=-6=(1001+1)=(1010)
// t&(-t)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*************************************************分割线
区间查询
ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和
举个例子 i=7;
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和
C[4]=
A[1]+
A[2]+A[3]+A[4]
;
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
可以推出:
sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];
序号写为二进制: sum[(111)]=
C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
再举个例子 i=5
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和
C[4]=
A[1]+
A[2]+A[3]+A[4]
; C[5]=A[5];
可以推出:
sum[5]=C[4]+C[5];
序号写为二进制: sum[(101)]=
C[(100)]+C[(101)];
细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用
结合代码
int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=C[i];
return ans；
}
int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=C[i];
return ans；
}
对于i=7 进行演示
7(111)
ans+=C[7]
lowbit(7)=001 7-
lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
对于i=5 进行演示
5(101)
ans+=C[5]
lowbit(5)=001 5-
lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
*************************************************分割线
单点更新
当我们修改A[]数组中的某一个值时 应当如何更新C[]数组呢？
回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图
结合代码分析
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
//由叶子结点向上更新C[]数组
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
//由叶子结点向上更新C[]数组
如图：
当更新A[1]时 需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]
C[1], C[2], C[4], C[8]
写为二进制
C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]
1(001) C[1]+=A[1]
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)
C[2]+=A[1]
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]
+=A[1]
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]
+=A[1]
*************************************************分割线
先这样
讲解题目: