1、lowbit操作
- 函数功能:求某一个数的二进制表示中最低的一位1。举个例子,x = 12,它的二进制为1100,那么lowbit(x)就返回4,因为最后一位1表示4。
- 算法实现:先用x&(x-1)消除最后一位1,再用原数x减去消除最后一位1后的数,即得答案。若学过计算机组成原理,也可用x&(-x),即x按位与自身补码,也可以得到。
- 举例说明:比如12,二进制为1100,x-x&(x-1)=1100-1100&(1100-1)=1100-1100&1011=1100-1000=100,即4;x&(-x)=1100&(0011+1)=1100&0100=100,也是4。一般lowbit就这两种实现方法。
int lowbit(int x)
{
return x - (x&(x-1)); // x&(-x)
}
2、在第i个数上加value
// 在第i个数上加上value
void add(int i, int value)
{
while (i<= N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
- 如上图,要在结点3上加上value,则首先在3上+value,3的二进制为11,lowbit(3)+3 = 1+11=100,即需要在结点4上+value,4+lowbit(4) = 100+100=1000,即需要在8结点上+value,以此类推,直到n个结点为止。可以看出在某个节点上加上value不止需要维护该节点,还需维护其它结点。这个操作时间复杂度为O(logn)
求前i个元素和
// 取出前i个元素之和
int sum(int i)
{
int sum = 0;
while (i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
- 也是这个图。从图中可以看出,假设我要求1到11元素和,那我只需要求1-8,9-10和11这三个区间元素和即可。11是1011,11-lowbit(11)=10, 10-lowbit(10)=8,跟踪这个程序正好是图中描述那样。
- 更新某个值和求某个区间值是一对逆向操作。
- 求区间[a,b]的和直接调用sum(b)-sum(a-1)即可。
例题实战
1、hdoj 1166
- C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习,所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段,所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动,可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
- 中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动,而Derek每次询问的段都不一样,所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数,很快就精疲力尽了,Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔,算得这么慢,我炒你鱿鱼!”Tidy想:“你自己来算算看,这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下,Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说:“死肥仔,叫你平时做多点acm题和看多点算法书,现在尝到苦果了吧!”Tidy说:"我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼,这么算他真的会崩溃的,聪明的读者,你能写个程序帮他完成这项工作吗?不过如果你的程序效率不够高的话,Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
- 第一行一个整数T,表示有T组数据。
- 每组数据第一行一个正整数N(N<=50000),表示敌人有N个工兵营地,接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人(1<=ai<=50)。
- 接下来每行有一条命令,命令有4种形式:
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人(j不超过30)
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人(j不超过30);
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j,表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束,这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令
Output
- 对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
- 对于每个Query询问,输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。
Sample Input
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End
Sample Output
Case 1:
6
33
59
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 50005;
int N, c[maxn];
int lowbit(int x)
{
return x - (x&(x-1)); // x&(-x)
}
// 在第i个数上加上value
void add(int i, int value)
{
while (i<= N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
// 取出前i个元素之和
int sum(int i)
{
int sum = 0;
while (i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
int main()
{
int t, Case = 0;
cin >> t;
while (t--)
{
printf("Case %d:\n", ++Case);
scanf("%d", &N);
memset(c, 0, sizeof(c));
int t;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
scanf("%d", &t);
add(i, t);
}
char command[15];
int x, y;
while (~scanf("%s", command) && command[0]!='E')
{
scanf("%d%d", &x, &y);
if (command[0] == 'Q')
{
int res = sum(y)-sum(x-1);
cout << res << endl;
}
else if(command[0] == 'A')
{
add(x, y);
}
else add(x, -y);
}
}
return 0;
}
2、hdoj 1556
- N个气球排成一排,从左到右依次编号为1,2,3…N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了,你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗?
Input
- 每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行,每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。 当N = 0,输入结束。
Output
- 每个测试实例输出一行,包括N个整数,第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。
Sample Input
3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0
Sample Output
1 1 1
3 2 1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
const int maxn = 100005;
int c[maxn];
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void add(int i, int value)
{
while (i<=N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
int sum(int i)
{
int sum = 0;
while(i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
int main()
{
while (scanf("%d", &N) && N!=0) {
int a, b;
memset(c, 0, sizeof(c));
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
cin >> a >> b;
add(a, 1); // 将[a,N]区间全加1
add(b + 1, -1); // 将[b+1, N]区间全减一
// 这样就实现了区间[a,b]上的涂色
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
cout << sum(i) << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
3、最后一题来源于csp2017年9月份认证题:除法
问题描述
- 小葱喜欢除法,所以他给了你N个数a1, a2, ⋯, aN,并且希望你执行M次操作,每次操作可能有以下两种:
- 给你三个数l, r, v,你需要将al, al+1, ⋯, ar之间所有v的倍数除以v。
- 给你两个数l, r,你需要回答al + al+1 + ⋯ + ar的值是多少。
输入格式
- 第一行两个整数N, M,代表数的个数和操作的次数。
- 接下来一行N个整数,代表N个数一开始的值。
输出格式
- 对于每一次的第二种操作,输出一行代表这次操作所询问的值。
样例输入
5 3
1 2 3 4 5
2 1 5
1 1 3 2
2 1 5
样例输出
15
14
评测用例规模与约定
- 对于30%的评测用例,1 ≤ N, M ≤ 1000;
- 对于另外20%的评测用例,第一种操作中一定有l = r;
- 对于另外20%的评测用例,第一种操作中一定有l = 1 , r = N;
- 对于100%的评测用例,1 ≤ N, M ≤ 105,0 ≤ a1, a2, ⋯, aN ≤ 106, 1 ≤ v ≤ 106, 1 ≤ l ≤ r ≤ N。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int N;
int a[maxn]; // 存放原始数据
long long c[maxn]; // 存放树状数组
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void add(int i, int value)
{
while (i<=N)
{
c[i] += value;
i += lowbit(i);
}
}
long long sum(int i)
{
long long sum = 0;
while (i>0)
{
sum += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
int main()
{
int M;
cin >> N >> M;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
cin >> a[i];
add(i, a[i]);
}
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int opt, l, r, v;
cin >> opt >> l >> r;
if (opt==2)
{
cout << sum(r)-sum(l-1) << endl;
}
else
{
cin >> v;
if (v==1) continue; // 不处理除以1这种情况会超时
for (int j = l; j <= r; ++j)
{
if (a[j]>=v && a[j]%v==0) // 不加上a[j]>v会超时
{
add(j, -(a[j]-a[j]/v)); // 用加法代替除法a[j]/v = a[j]-(a[j]-a[j]/v)
a[j] = a[j]/v;
}
}
}
}
return 0;
}