ST表与树状数组

ST表

　st表可以解决区间最值的问题。可以做到O(nlogn)预处理，O（1）查询，但是不支持修改。

　　st表的大概思路就是用st[i][j]来表示从i开始的2的j次方个树中的最值，查询时就从左端点开始，找到区间长度是2的多少次方，然后进行查询。然而，很明显，我们要查询的区间长度不一定是2的多少次幂。那怎么做到O(1)查询呢，这就要用到最值的特性。

如图，假如我们要查询2到7之间的最大值，但是7-2+1在2²与2³之间，我们选择2²，也就是st[2][2],那剩下的6,7怎么办，我们考虑倒着从7往回算，也就是在st[7-2²][2]与st[2][2]取max作为从2到7的最大值。

　　首先，进行预处理，st[i][j]表示从i开始的2的j次方，那么st[i][j]就应该是从i开始2的j-1次方与从i+2^j-1开始的2的j-1次方中的最大值，那么进行递推就好了。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int N=100100;
 5 int n,m,a[N],st[N][20],log[N],cf[20];
 6 void pre()
 7 {
 8   log[2]=1;
 9   log[1]=0;
10   for(int i=3;i<=n;++i)
11   {
12     log[i]=log[i/2]+1;
13   }
14   cf[0]=1;
15   cf[1]=2;
16   for(int i=2;i<=log[n]+1;++i)
17   {
18     cf[i]=cf[i-1]*2;
19   }
20 }
21 int read()
22 {
23   int x=0,f=1;char c=getchar();
24   while(c<'0'||c>'9')
25   {
26     if(c=='-') f=-1;
27     c=getchar();
28   }
29   while(c>='0'&&c<='9')
30   {
31     x=x*10+c-'0';
32     c=getchar();
33   }
34   return x;
35 }
36 int ff(int x,int y)
37 {
38   int l=y-x+1,k=log[l];
39   int f=max(st[x][k],st[y-cf[k]+1][k]);
40   return f;
41 }
42 int main()
43 {
44   n=read(),m=read();
45   pre();
46   for(int i=1;i<=n;++i)
47   {
48     st[i][0]=a[i]=read();
49 
50   }
51 
52   for(int j=1;j<=log[n];++j)
53   {
54     for(int i=1;i+cf[j]-1<=n;++i)
55     {
56       st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+cf[j-1]][j-1]);
57     }
58   }
59   for(int i=1,x,y;i<=m;++i)
60   {
61     x=read(),y=read();
62     cout<<ff(x,y)<<"\n";
63   }
64   return 0;
65 }

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树状数组

其实，树状数组的原理我并不是很懂，但是因为其短小精炼的代码，令我非常喜欢。。。。

所以就顺便发表在博客里吧，等到过一段时间，真正明白其原理了，再回来修改。

树状数组不需要预处理，只有修改与查询两种操作。修改可以是加或减一个值，查询的是一个区间和。

首先我们需要两个数组，一个是原数组a，一个是树状数组tree。

然后就是修改，只需写一个几行的子函数，然后将修改元素的下标和要加的元素传入函数，然后奇迹就发生了。

查询传入要查询的下标就可以查询从1到改元素之间的区间和，如果查询从l到r，只需分别求出其从以到他们的区间和，然后相减即可，类似于前缀和。具体的都在代码里了。

哦，对了，树状数组似乎还支持区间修改和单点查询，同样等到我会了，再回来修改。。。。。。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int N=500005;
 5 int tree[N],n,m;
 6 void add(int a,int pos)
 7 {
 8     while(pos<=n){
 9         tree[pos]+=a;
10         pos+=pos&-pos;
11     }
12 }
13 int cc(int pos)
14 {
15     int ans=0;
16     while(pos>=1){
17         ans+=tree[pos];
18         pos-=pos&-pos;
19     }
20     return ans;
21 }
22 int main()
23 {
24     scanf("%d%d",&n,&m);
25     for(int i=1,x;i<=n;++i)
26     {
27         scanf("%d",&x);
28         add(x,i);
29     }
30     for(int i=1,bz,x,y;i<=m;++i){
31         scanf("%d%d%d",&bz,&x,&y);
32         if(bz==1)
33             add(y,x);
34         else{
35             int kk=cc(y),zz=cc(x-1);
36             printf("%d\n",kk-zz);
37         }
38     }
39     return 0;
40 }

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