[学习笔记]母函数

母函数的性质

1、定义

母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式：
$G(x)=g_0+g_1x+g_2+x^2+...=\sum_{i=0}^\infty g_ix^i$ $=<g_0,g_1,g_2......>$2、闭形式

举一个例子，有一个生成函数是 $<1,1,1...>$，我们尝试对它求和：
$<1,1,1...>=\frac{1-x^{\infty}}{1-x}=\frac{1}{1-x}$最后一步是因为在 $x\in(0,1)$时， $x^\infty$趋近于 $0$，那我们就可以得到一个简洁的表达方法，这就是闭形式。

3、基础操作

• 放缩，即 $<cg_0,cg_1,cg_2....>=cG(x)$
• 加减法，即 $<f_0\pm g_0,f_1\pm g_1,f_2\pm g_2....>=F(x)\pm G(x)$
• 求导，举一个例子，对于 $G(x)=1+x+x^2....=\frac{1}{1-x}$求导， $G'(x)=1+2x+3x^2...=\frac{1}{(1-x)^2}$，这里利用到了对母函数求导等价于对它的闭形式求导。
• 卷积，类比多项式的卷积，这个操作广泛运用于组合数学。

应用

[例一] wyx旅游

题目描述

小明出门旅游，需要带一些食物，包括薯片，巧克力，矿泉水，汉堡，牛奶和糖果。经过估计，他觉得带 $n\leq 10^{100}$ 件食物比较合适，但他还有一些癖好，问方案数：

• 最多带1个汉堡
• 巧克力的块数是5的倍数
• 最多带4瓶矿泉水
• 薯片的包数是一个偶数
• 最多带3罐牛奶
• 糖果的个数是4的倍数

解法

尝试把这些限制写成母函数的形式：

• 汉堡， $h(x)=1+x$
• 巧克力， $c(x)=1+x^5+x^{10}......=\frac{1}{1-x^5}$
• 矿泉水， $p(x)=1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{1-x^5}{1-x}$
• 薯片， $w(x)=1+x^2+x^4......=\frac{1}{1-x^2}$
• 牛奶， $m(x)=1+x^1+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$
• 糖果， $s(x)=1+x^4+x^8....=\frac{1}{1-x^4}$

把这些多项式乘起来：
$\frac{1}{(1-x)^3}=<1,C_3^2,C_4^2......>$上式的得出本质上是用插板法解决的不定方程解的个数，所以答案就是 $C_{n+2}^2=n(n+1)/2$

代码略

[例二] 遗忘的集合

例题正在补充，期待van工。
$To\space\space\space be\space\space\space continue......$