数论继续学习16---母函数（又名生成函数）
前言：
母函数是个很难的东西，难在数学
而ACM中所用的母函数只是母函数的基础
应该说除了不好理解外，其他都是非常简单的
母函数即生成函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
但是ACM中的母函数木有像数学那么深究，应用的都是母函数的一些基本
（就好比方程的配方，因式的分解，写起来容易，你用电脑写起来就麻烦了，所以学计算机就不要老跟数学家瞎闹(￣３￣)）
什么是母函数
就是把一个已知的序列和x的多项式合并起来，新产生的多项式就叫原来序列的母函数
至于怎么合并，看这个例子
序列{0，1，2，3，4，5，...，n}的母函数就是
（这个x没有任何意义，应该说，我们不需要把它当做一个函数，我们只要知道母函数这么写就可以了）
序列{1,1,1,1,1......}的母函数就是
二项式展开的序列比如这个{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0.....}是C(4,0)到C(4,4)的系数，那它的母函数就是
母函数就长这样，对正常人来讲，这种东西毫无意义( ° △ °|||)
我们可能不是正常的人？ 那看点有意义的东西：
例题1：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
假如x的幂次数表示几克的砝码，那么
1克的砝码表示为1+x^1
2克的砝码表示为1+x^2
3克的砝码表示为1+x^3
4克的砝码表示为1+x^4
每个砝码都可以选择取或不取
所以这里的1可以认为1*x^0，表示不取这颗砝码
那么把这些乘起来
根据指数来看，我们可以称出0~10这么多的重量，其中3~7的系数为2，说明有2种称的方法
分毫不差(・ˍ・*)
所以说母函数在ACM就是这么用的，跟函数没关系，跟写法有关系。。。
例题2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：（每张邮票的数量是无限的）
那么
1分：(1+x^1+x^2+x^3+x^4+......)
2分：(1+x^2+x^4+x^6+x^8+......)
3分：(1+x^3+x^6+x^9+x^12+......)
然后这3个乘起来（让电脑去乘吧）
对于这种无限的，题目肯定会给你他询问的数值的范围，计算到最大的范围就可以了
附代码：
#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 100 + 5;//假如题目只问到100为止
const int MAX = 3;//题目只有1,2,3这3种邮票
LL c1[N], c2[N];//c2是临时合并的多项式，c1是最终合并的多项式
int n;
void init(){
c1[0] = 1;//一开始0的情况算一种
for(int i = 1; i <= MAX; i ++){//把1分到MAXN的邮票合并，变成一个多项式
for(int j = 0; j < N; j += i){//i分的邮票，步长是i
for(int k = 0; j + k < N; k ++){//从x^0到x^N遍历一遍
c2[j + k] += c1[k];//因为j的所有项系数为1，所以c1[k]可以看成c1[k]*1;
}
}
for(int j = 0; j < N; j ++){//把c2的数据抄到c1，清空c2
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
}
int main(){
init();
while(scanf("%d", &n) != EOF){
printf("%I64d\n", c1[n]);
}
}我们就来把这个模板用于实际吧
hdu 1028 Ignatius and the Princess III
题目问一个数字n能够拆成多少种数字的和
比如n=4
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
有5种，那么答案就是5
AC代码（预处理我不是这样写的）：
#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 120 + 5;
const int MAX = 120 + 5;
LL c1[N], c2[N];
int n;
void init(){
c1[0] = 1;
for(int i = 1; i <= MAX; i ++){
for(int j = 0; j < N; j += i){
for(int k = 0; j + k < N; k ++){
c2[j + k] += c1[k];
}
}
for(int j = 0; j < N; j ++){
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
}
int main(){
init();
while(scanf("%d", &n) != EOF){
printf("%I64d\n", c1[n]);
}
}题目说一个国家的硬币都是方形的，面值也是方形的
有1块钱，4块钱，9块钱，16块钱......一直到289块钱（17^2）
问想组成n块钱有几种方法
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll cnt1[308], cnt2[308];
int n;
void init()
{
cnt1[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 17; i++)
{
memset(cnt2, 0, sizeof(cnt2));
for(int j = 0; j < 307; j += i*i)
for(int k = 0; j + k < 307; k++)
cnt2[j+k] += cnt1[k];
for(int j = 0; j < 307; j++) cnt1[j] = cnt2[j];
}
}
int main()
{
init();
while(~scanf("%d", &n))
{
if(n == 0) break;
printf("%lld\n", cnt1[n]);
}
return 0;
}
都是改一些小地方，都是模板题(oﾟωﾟo)
最后一道
hdu 1085 Holding Bin-Laden Captive!
AC代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
typedef long long LL;
const int N = 1000 * (1+2+5) + 5;
int cost[3] = {1, 2, 5};
LL c1[N], c2[N];
int num[3];
int MAX;
int main(){
while(~scanf("%d%d%d", &num[0], &num[1], &num[2])){
if(num[0] == 0 && num[1] == 0 && num[2] == 0) break;
memset(c1, 0, sizeof(c1));
memset(c2, 0, sizeof(c2));
MAX = num[0] + num[1] * 2 + num[2] * 5;//计算最大值
c1[0] = 1;
for(int i = 0; i < 3; i ++){
for(int j = 0; j <= num[i] * cost[i]; j += cost[i]){
for(int k = 0; j + k <= MAX; k ++){
c2[j + k] += c1[k];
}
}
for(int j = 0; j < N; j ++){
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
for(int i = 1; i <= MAX + 1; i ++){
if(!c1[i]){
printf("%d\n", i);
break;
}
}
}
}母函数在数学上真的用处很大。
但上面的3个例题，都有更快的做法
第一题：动态规划，时间复杂度O(n^2)
#include<cstdio>
const int N = 120 + 5;
int dp[N];
int n;
void init(){
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i < N; i ++){
for(int j = i; j < N; j ++){
dp[j] += dp[j - i];
}
}
}
int main(){
init();
while(scanf("%d", &n) != EOF){
printf("%d\n", dp[n]);
}
}第二题：动态规划，时间复杂度O(n^2)
#include<cstdio>
const int N = 300 + 5;
int dp[N];
int n;
void init(){
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 17; i ++){
for(int j = i*i; j < N; j ++){
dp[j] += dp[j - i*i];
}
}
}
int main(){
init();
while(scanf("%d", &n) != EOF && n){
printf("%d\n", dp[n]);
}
}第三题：≖‿≖✧特判就好了，时间复杂度O(1)
#include<cstdio>
int a, b, c;
int ans;
int main(){
while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) && (a || b || c)){
if(a >= 4 || a >= 2 && b >= 1 || a >= 1 && b >= 2) ans = a + 2*b + 5*c + 1;
else if(a == 0) ans = 1;
else ans = a + 2*b + 1;
printf("%d\n", ans);
}
}
经过上面的步骤，母函数我们只要暂时理解原理就好了