ACM中的组合数学基础

组合数学是数学的一个重要分支，在ACM竞赛中占有极大的比重

组合数学主要研究：按某种约束条件组成的各种离散问题。

1. 问题的解
2. 解的存在性
3. 计数问题与分类
4. 能行性问题（构造算法）
5. 最优化问题

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计算:

$C_n^m=\dfrac{n!}{m!\times(n-m)!}$ , $A_n^m=\dfrac{n!}{m!}$

$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$

$C_m^m+C_{m+1}^m+...+C_{m+n}^m=C_{m+n+1}^{m+1}$

$C_n^0+C_{n+1}^1+...+C_{n+k}^k=C_{n+k+1}^{k}$

$C_{2n}^2=2C_n^2+n^2$

情况:

n球m盒子：$A_{n+m-1}^{n+m-1}$

• 球相同：除以$A_n^n$
• 盒子相同：除以$A_{m-1}^{m-1}$

n个人站一排：$A_{n}^n$
n个人站一圈：$A_{n}^n/n=A_{n-1}^{n-1}$

n男m女站一排（相当于n+m位置选n个）：$C_{n+m}^{n}$
n男m女站一圈：不知道。。。

男生不能站在一起，插空法
男生必须站在一起，捆绑法

k个元素的无限集取r个的全排列：$K^r$
k个元素的无限集取r个的组合数：$C_{k+r-1}^r$
k个元素的无限集取r个且每个元素至少有一个的组合数：$C_{r-1}^{k-1}$

错排公式：$[n!/e+0.5]$