【动态规划】线性动规 状态节省

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接： https://blog.csdn.net/qq_42725189/article/details/102489242

• 大致规律：可以通过发现某些规律或共性来省掉某些状态以节省时空
• 注意！！ 当涉及到状态覆盖必须谨慎压维！！比如休息时间
• 例一：LCIS
• 题意：求最长公共上升子序列，n<3000
• 原数组：f[i][j]：表示 $a_1 ... a_i和b_1...b_i$的以bi结尾的最长公共上升子序列，需要i：1…n扫A串，j：1…m扫B串，k:m…1扫B串j前的最大f[i-1][k]。优化1：f[i-1][k]更新f[i][j]时只有k在变且找最大，则可以用一个数记录最大而不用扫，减掉一个循环k。优化2：发现每次只用到到f[i-1]，所以可以滚动数组或重复利用，二维减到一维，节省空间

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[3005],b[3005],f[3005];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&b[i]);
    for(int val,i=1;i<=n;i++)
    {
        val=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(b[j]<a[i]&&f[j]>val)val=f[j];
            if(a[i]==b[j])
            f[j]=val+1;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(f[i]>ans)
    ans=f[i];
    printf("%d",ans);
}

• 例二：快递服务
• 题意：给定一个完全图，三个人分别在点1.2.3，现有一些需依次到达的点，需派1人到达，问最小距离和。（位置数200，需求点1000）
• 原数组：f[i][j][k][ii]表示第一人在i，第二人在j，第三人在k，解决了ii个需求的最小距离。但明显会时空双爆。优化一：发现一个共性，当解决了第ii个需求，那一定会有一个人在ii需求的那个点上，即可减少一个表位置的状态。优化二：每次只会用到上一次需求点的状态，可以滚动数组，减少一维空间。
• 本题坑点：不能用floyd预处理两点最短路

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l,n,f[205][205],q[3],dp[3][205][205];
int main()
{
	scanf("%d%d",&l,&n);
	for(int i=1;i<=l;i++)
	{
		for(int j=1;j<=l;j++)
		scanf("%d",&f[i][j]);
	}
	memset(dp[1],0x3f,sizeof(dp[1]));
	q[1]=1;
	dp[1][2][3]=0;
	int now=0;
	while(n--)
	{
		scanf("%d",&q[now]);
		memset(dp[now],0x3f,sizeof(dp[now]));
		for(int i=1;i<=l;i++)
		{
			for(int j=1;j<=l;j++)
			{
				if(i==j||j==q[now^1]||i==q[now^1])continue;
				if(dp[now^1][i][j]+f[q[now^1]][q[now]]<dp[now][i][j])
				dp[now][i][j]=dp[now^1][i][j]+f[q[now^1]][q[now]];
				if(dp[now^1][i][j]+f[i][q[now]]<dp[now][q[now^1]][j])
				dp[now][q[now^1]][j]=dp[now^1][i][j]+f[i][q[now]];
				if(dp[now^1][i][j]+f[j][q[now]]<dp[now][i][q[now^1]])
				dp[now][i][q[now^1]]=dp[now^1][i][j]+f[j][q[now]];
			}
		}
		if(n!=0)
		now^=1;
	}
	int ans=1234567890;
	for(int i=1;i<=l;i++)
	{
		for(int j=1;j<=l;j++)
		{
			if(i==j||j==q[now]||q[now]==i)continue;
			if(dp[now][i][j]<ans)
			ans=dp[now][i][j];
		}
	}
	printf("%d",ans);
}