动态规划状态转移公式

最大连续子序列和

题目	描述	dp描述	转移公式
最大连续子序列和	在一个给定的序列中，找出一个连续的子序列，使得这个子序列的和最大	dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列最大和	dp[i]=max(A[i],dp[i-1]+A[i])

转移情况：
①最大和的连续序列只有一个元素，即A[i]本身，为A[i]
②最大和的连续序列有多个元素，即从A[j]开始到A[i]，为dp[i-1]+A[i]

int maxSub(int n){
    int Max=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i==0) dp[i]=a[i];//初始
        else dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);//多个vs一个
        if(dp[i]>Max) Max=dp[i];
    }
    return Max;
}

最长递增子序列

题目	描述	dp描述	转移公式
最长递增子序列	在一个给定的序列中，找出一个的最长的递增子序列（不必连续）	dp[i]表示以A[i]作为末尾的最长递增子序列长度	dp[i]=max(1,dp[j]+1 | j<i&&A[j]<A[i])

转移情况：
①A[i]之前的元素都比A[i]大，即最长递增子序列只有A[i]本身，为dp[i]=1
②A[i]之前的元素A[j]比A[i]小此时只需将A[i]添加到以A[j]为末尾的最长递增子序列,而求长度则是通过将i之前的元素逐一遍历，就可以获得dp[i]

  int answer=0;
  for(int i=0;i<n;i++){
      dp[i]=1;//初始化为1
      for(int j=0;j<i;j++){//得出以i为最后一个的最大的序列长度
          if(height[i]<=height[j]){
              dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
          }
      }
      answer=max(answer,dp[i]);
  }

最长公共子序列

题目	描述	dp描述	转移公式
最长公共子序列	给定字符串s1,s2求一个最长的公共子序列(不一定连续)	dp[i][j]表示以s1[i]作为末尾和以s2[j]为末尾的最长公共子序列的长度	dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1(s1[i]=s2[j])___ 否则dp[i][j]==max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

转移情况：
①s1[i]=s2[j]，此时比存在一个最长公共子序列以s1[i]和s2[j]结尾，其他部分相当于s1的前i-1和s2的前j-1个字符的最长公共子序列，为dp[i-1][j-1]+1
②s1[i]!=s2[j],此时最长公共子序列的长度为s1的前i-1个字符和s2的前j个字符的最长公共子序列与s1的前i个字符和s2中的前j-1个字符的最长公共子串的较大者，为max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

边界情况：
dp[i][0]=0; dp[0][j]=0;

while(scanf("%s%s",s1+1,s2+1)!=EOF){//从下标1开始输入
    int n=strlen(s1+1);
    int m=strlen(s2+1);
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            if(i==0||j==0){//边界条件初始化
                dp[i][j]=0;
                continue;
            }
            //状态转移方程
            if(s1[i]==s2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
}

背包问题

• 0-1背包

题目	描述	dp描述	转移公式
0–1背包	n种物品(一种只取一次),重量分别为w[i],现有容量为m背包,要使装进背包物品价值最大	dp[i][j]表示前i个物品装进容量为j的背包能获得的最大价值	dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])

转移情况：
①对于容量为j的背包，如果不放入第i件物品，问题就转化成了前i-1个物品放入容量为j的背包的问题，为dp[i-1][j]
②对于容量为j的背包，如果放入第i件物品，问题就转化成了将前面i-1个物品放入容量为j-w[i]的背包的问题，为dp[i-1][j-w[i]]+v[i]
最终转化成了dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])
经观察dp[i][j]只与二维数组中本行的上一行有关，根据这个可以将二维数组优化为一维数组：
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]+v[i])

边界情况：
dp[i][0]=0; dp[0][j]=0;

for(int i=0;i<=m;i++){
    dp[i]=0;//初始化
}
for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=m;j>=w[i];j--){
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
}

• 完全背包 ：暂时不是很理解(╯°Д°)╯︵┻━┻
• 多重背包 ：暂时不是很理解ヽ(｀Д´)ﾉ︵ ┻━┻ ┻━┻