线性状态动态规划1——子序列问题
线性动态规划，即具有线性阶段划分的动态规划。由于子序列问题在比赛中是很经典，也是很常见的问题，也能很好地体现动态规划思想，所以本文选择两道经典题——一个序列的最长上升子序列、两个序列的最长公共子序列进行叙述。
一、最长上升子序列（一个序列）
题目内容：给定一组整数，求最长上升子序列
样例：
输入 1 7 6 2 3 4 5
输出 5
解题过程：
以当前数字为末尾数字，求最长上升子序列，所以要往前搜索并进行状态转移，dp数组存的是以每个数字为末尾数字的最长上升子序列，而不是整组数的最长上升子序列，所以还要用ans来更新答案
for(int i=1;i<k;i++){
dp[i] = 1;
for(int j=i-1;j>=0;j--){
if(num[j] <= num[i]) //>=则为最长下降子序列
dp[i] = max(dp[j]+1,dp[i]);
}
ans = max(ans,dp[i]);
}
输入的时候有点坑，注意k - -
while(scanf("%d",&num[k++]));
k--;
全部代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int num[100005];
int dp[100005];
int k=0; //数字个数
int ans;
void dpf(){
dp[0] = 1;
for(int i=1;i<k;i++){
dp[i] = 1;
for(int j=i-1;j>=0;j--){
if(num[j] <= num[i]) //>=则为最长下降子序列
dp[i] = max(dp[j]+1,dp[i]);
}
ans = max(ans,dp[i]);
}
}
int main(){
while(scanf("%d",&num[k++]));
k--;
dpf();
cout << ans;
}
二、最长公共子序列（两个序列）
题目内容：给出1,2,…,n 的两个排列 P1和 P2，求它们的最长公共子序列。
样例：
输入
CBADE
ABCDE
输出
3
解题过程：
求两个字符串的最长公共子序列，可用动态规划思想来做，推导过程如下
状态转移部分代码为
if(s1[i-1]==s2[j-1]){
//注意这里的下标是i-1与j-1
dp[i][j] =dp[i-1][j-1]+1;
}
else{
dp[i][j]=dp[i][j-1] > dp[i-1][j] ? dp[i][j-1] : dp[i-1][j];
}
全部代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s1,s2;
int dp[101][101];
void dpf(){
for(int i=1;i <= s1.length();i++){
for(int j=1;j <= s2.length();j++){
if(s1[i-1]==s2[j-1]){
//注意这里的下标是i-1与j-1
dp[i][j] =dp[i-1][j-1]+1;
}
else{
dp[i][j]=dp[i][j-1] > dp[i-1][j] ? dp[i][j-1] : dp[i-1][j];
}
}
}
}
int main(){
cin >> s1 >> s2;
dpf();
cout << dp[s1.length()][s2.length()];
return 0;
}
心得：两道题都是n^2解法，但现在考察较多的是nlogn的解法，所以这两种解法会超时，后期还要继续学习，更新这两种解法