文章目录
动态规划（简单多状态）
1. 按摩师
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状态表示
dp[i]表示到i位置的时候预约的最大时长。但是这个题目我们可以选择接或不接。因此可以继续划分为两个子状态：f[i]表示：到i位置时接受的最大时长g[i]表示：到i位置时不接受的最大时长
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状态转移方程
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初始化
因为这个题目比较简单，所以不需要使用虚拟节点的方法，初始化是为了后面填表的时候不越界
f[0] = nums[0], g[0] = 0 -
填表
从左到右
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返回值
接受最后一个或者不接受的最大值
AC代码：
class Solution
{
public:
int massage(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
if (n == 0) return 0;
vector<int> f(n);
auto g = f;
f[0] = nums[0], g[0] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + nums[i];
g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
}
return max(f[n - 1], g[n - 1]);
}
};
2. 打家劫舍 ||
分析：
由于房间是连续的，也就是一个环，因此可以分类讨论：
- 偷第一个时，第二个和最后一个不能偷
- 不偷第一个，可以偷第二个和最后一个
因此只需要两种情况的最大值就可以
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状态表示
dp[i]表示偷到i时的最大金额，但是依然可以划分为两种情况偷或不偷f[i]表示偷i时的最大金额g[i]表示不偷i时的最大金额 -
状态转移方程
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初始化
保证后续的填表不越界
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填表
从左到右，两个一起填
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返回值
最大值
AC代码：
class Solution
{
public:
int rob(vector<int>& nums)
{
int x = 0, y = 0;
int n = nums.size();
x += nums[0];
x += recursion(2, n - 2, nums);
y += recursion(1, n - 1, nums);
return max(x, y);
}
int recursion(int left, int right, vector<int> &v)
{
if (left > right) return 0;
int n = v.size();
vector<int> f(n);
auto g = f;
f[left] = v[left]; // 初始化
for (int i = left + 1; i <= right; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + v[i];
g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]);
}
return max(f[right], g[right]);
}
};
3. 删除并获得点数
分析：我们把所有数字的点数之和，放到一个数组当中，在进行一次打家劫舍就可以了
把原数组转换成一个新数组，新数组的下标i所对应的值为原数组的元素i在原数组中数字的总和，比如原数组[2, 2, 3, 3, 3, 4],转换为新数组就是[0, 0, 4, 9, 4]。在新数组中，下标0和1表示在原数组中没有0和1这两个数，新数组下标2的值是4，表示在原数组中，所有2的总和是4。转换的目的就是可以从新数组中得到删除nums[i]而得到的点数，也就是可以打劫的金额。因为删除nums[i]后，还要删除nums[i] + 1和nums[i] - 1，在新数组中就意味着不能取相邻的元素，不能取相邻的元素和打家劫舍也是一样的。接下来就可以使用打家劫舍的方式解答了
AC代码：
class Solution
{
public:
const int N = 10001;
int deleteAndEarn(vector<int>& nums)
{
vector<int> arr(N);
for (auto e : nums) arr[e] += e;
vector<int> g(N);
auto f = g;
for (int i = 1; i < N; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + arr[i];
g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]);
}
return max(g[N - 1], f[N - 1]);
}
};
4. 粉刷房子
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状态表示
dp[i]表示到i时，所需的最少费用。但是到i的时候可以有三种情况我们需要分三个子状态dp[i][0], dp[i][1], dp[i][2] -
状态转移方程
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初始化
采用虚拟节点的方式
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填表
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返回值
返回三个表中的最小值
AC代码：
class Solution
{
public:
int minCost(vector<vector<int>>& costs)
{
// 0: 红色 1：蓝色 2：绿色
int n = costs.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + costs[i - 1][0];
dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + costs[i - 1][1];
dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + costs[i - 1][2];
}
int ret = INT_MAX;
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
ret = min(ret, dp[n][i]);
}
return ret;
}
};
5. 最佳买卖股票时机含冷冻期
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状态表示
dp[i]表示到i位置时的最大利润，但是到达i位置的时候仍然有3种子状态dp[i][0]，表示i过后处于买入状态dp[i][1]， 表示i过后处于可交易状态dp[i][2]，表示i过后处于冷冻期状态
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状态转移方程
像这种状态之间可以相互转换的，我们可以采用如下方法分析：
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初始化
dp[0][0] = -prices[0], dp[0][1] = 0, dp[0][2] = 0 -
填表
三张表同时填
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返回值
返回三中状态最后的最大值
AC代码：
class Solution
{
public:
int maxProfit(vector<int>& prices)
{
int n = prices.size();
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3));
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
}
return max(max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]), dp[n - 1][2]);
}
};
6. 买卖股票的最佳时机含手续费
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状态表示
dp[i]表示到i位置的时候，最大的利润但是到i位置的时候是有两种状态的dp[i][0]：表示是买入状态dp[i][1]表示卖出状态 -
状态转移方程
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初始化
刚开始如果是买入状态
dp[0][0] = -prices[0] -
填表
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返回值
AC代码：
class Solution
{
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee)
{
int n = prices.size();
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2));
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
{
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
}
return max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]);
}
};
7. 买卖股票的最佳时机 |||
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状态表示
dp[i]表示到i位置的最大利润，但是还分为几个状态f[i][j]表示到i是第j次买入的最大利润g[i][j]表示到i是第j次买入的最大利润 -
状态转移方程
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初始化
f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0 -
填表
从上往下，每一行从左到右
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返回值
卖出状态最后的几个中的最大值
AC代码：
class Solution
{
public:
const int N = 0x3f3f3f3f;
int maxProfit(vector<int>& prices)
{
int n = prices.size();
vector<vector<int>> f(n, vector<int>(3, -N));
auto g = f;
f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);
g[i][j] = g[i - 1][j];
if (j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
}
}
int ret = 0;
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
ret = max(ret, g[n - 1][i]);
}
return ret;
}
};
8. 买卖股票的最佳时机 IV
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状态表示
还是分为两个子状态
f[i][j]表示到i位置买入状态第j次买股票的最大利润g[i][j]表示到i位置卖出状态第j次买股票的最大利润 -
状态转移方程
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初始化
f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0 -
填表
从上到下，从左到右
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返回值
返回所有行的最大值
AC代码：
class Solution {
public:
const int N = 0x3f3f3f3f;
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k + 1, -N));
auto g = f;
f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j <= k; j++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);
g[i][j] = g[i - 1][j];
if (j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
}
}
int ret = 0;
for (int i = 0; i <= k; i++)
{
ret = max(ret, g[n - 1][i]);
}
return ret;
}
};