二项式反演与错排问题
常见简单组合恒等式：
\(C_n^m=C_n^{n-m}\)
\(C_n^m=C_n^{m-1}+C_{n-1}^{m-1}\)
\(\sum_{i=0}^{n}C_n^i=2^i\)
\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^i*C_n^i=[n=0]\)
3.4.证明：由二项式定理易证。
令\(x=1,y=1\)，可得3式
令\(x=1,y=-1\)， 可得4式
二项式反演：
假设存在两个函数f，g。满足：
\[ f_n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i*g_i \]
那么考虑如何反求得\(g_n\)关于\(f_n\)的等式。
\[ g_n=\sum_{i=0}^{n}[n-i=0]*C_n^i*g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j*C_{n-i}^j*C_n^i*g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j*C_{n}^j*C_{n-j}^i*g_i\\ g_n=\sum_{j=0}^{n}(-1)^j*C_n^j\sum_{i=0}^{n-j}C_{n-j}^i*g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i*C_n^i*f_{n-i}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*C_n^i*f_{i} \]
所以得到二项式反演的结论：
\[ f_n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i*g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*C_n^i*f_{i}\\ \]
形式上真的很优美！
下面就用二项式反演来解决一个经典的问题！
错排问题
问题描述：
有\(n\)个人编号为\(1, ..., n\)，问这\(n\)个人站成一排全都站错位置的方案数。
上述站错的定义是：第\(i\)个人没有站在位置\(i\)上。
方法1： 递推
设\(f_n\)表示答案，假设现在考虑到了前\(i\)个人的方案，即\(f_i\)。
考虑第\(i\)个人站位情况：
显然第\(i\)个人的不能站在位置\(i\)，假设他站到了位置\(k\)，显然\(k\in[1,i-1]\)，那么继续考虑\(k\)的站位。
①、\(k\)站到了位置i，那么剩下的\(i-2\)个人仍然构成一个原问题，方案数为\(f_{i-2}\)。
②、\(k\)没站到位置i，也即\(k\)不能站在位置\(i\)，那么剩下的\(i-1\)个人仍然构成一个原问题，方案数为\(f_i-1\)。
所以可以得到\(f\)的递推关系：
\[ f_1=0\ , \ f_2=1\\f_i=(i-1)*(f_{i-1}+f_{i-2})\ \ i≥3 \]
方法2：二项式反演
设\(f_n\)表示\(n\)个人随便站位的方案数，\(g_n\)表示\(n\)个人的都站错的方案数。
容易得到：
\[ f_n=n!\\ f_n=\sum_{i=0}^nC_n^i*g_i \]
直接二项式反演可以得到：
\[ g_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*C_n^i*f_{i}\\ \]
同样可以直接线性的递推出答案。