反常积分(1)

定义1

函数 $f$定义在无穷区间 $[a,+\infty)$，且在区间 $[a,u]$上可积。
若
$\lim_{u \to +\infty}\int_{a}^{u}f(x)=J \tag{1}$
则称 $J$为函数 $f$在 $[a,+\infty)$上的无穷限反常极限，
$J=\int_{a}^{+\infty}f(x) \tag{1'}$
并称 $\int_{a}^{+\infty}f(x)$收敛




函数 $f$定义在无穷区间 $(-\infty,+\infty)$，这样定义
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)$
$=\int_{-\infty}^{a}f(x)+\int_{a}^{+\infty}f(x) \tag{3}$
其中 $a$是任一实数。

记住啊，只有后面两个狗东西都收敛，才能说这个无穷积分是收敛的啊。

yige 每个人都要知道的小东西

$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$
这个东西
$p \le 1 发散于 +\infty$
$p > 1 收敛于 \frac{1}{p-1}$

定义2

设 $f$定义在 $(a,b]$上，在点 $a$的任一个右邻域上无界（记住，不是a点无定义），但在任意内闭 $[u,b] \subset(a,b]$上有界可积，如果
$\lim_{u \to a^+}\int_{u}^{b}f(x)=J \tag{5}$
则称其为无界函数 $f$在 $(a,b]$上的反常积分。
$J=\int_{a}^{b}f(x) \tag{5'}$

$a$称为 $f$的瑕点，也称瑕积分。





若 $f$的瑕点 $c \in (a,b)$，怎么定义积分
$\int_{a}^{b}f(x)dx=$
$\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$
只有当后面两个东西收敛时候，才能说第一个东西是收敛的。





若 $a,b$都是 $f$的瑕点，而 $f$在任何 $[u,v] \subset(a,b)$上可积，这个时候瑕积分的定义
$\int_{a}^{b}f(x)dx=$
$\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$
其中 $c \in (a,b)$的任意实数系。

只有当后面两个东西收敛时候，才能说第一个东西是收敛的。