反常积分敛散性的比较判别法
1.比较判别法的一般形式
设 f ( x ) f(x) f(x), g ( x ) g(x) g(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上 连续,且 0 < f ( x ) ≤ g ( x ) 0<f(x)≤g(x) 0<f(x)≤g(x)。则
若 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} g(x) dx ∫a+∞g(x)dx收敛,则有 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} f(x) dx ∫a+∞f(x)dx收敛;
若 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} f(x) dx ∫a+∞f(x)dx发散,则有 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} g(x) dx ∫a+∞g(x)dx发散。
2.比较判别法的极限形式
设 f ( x ) f(x) f(x), g ( x ) g(x) g(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上 非负连续, lim x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = λ \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda x→+∞limg(x)f(x)=λ,则
若 λ > 0 \lambda>0 λ>0,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx 与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞g(x)dx敛散性相同。
若 λ = 0 \lambda=0 λ=0,且 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞g(x)dx收敛,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx 收敛。
若 λ = + ∞ \lambda=+\infty λ=+∞,且 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx ∫a+∞g(x)dx发散,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx 发散。
3.常用结论
①常用反常积分一(p积分)
对反常积分 ∫ a + ∞ 1 x p d x \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx ∫a+∞xp1dx,(a>0)
若 p > 1 p>1 p>1,则该反常积分收敛;
若 p ≤ 1 p≤1 p≤1,则该反常积分发散。
②常用反常积分二(q积分)
对反常积分 ∫ a b 1 ( x − a ) q d x \int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^q}dx ∫ab(x−a)q1dx,(a>0)
若 q < 1 q<1 q<1,则该反常积分收敛;
若 q ≥ 1 q≥1 q≥1,则该反常积分发散。
③常用反常积分三
对反常积分 ∫ 2 + ∞ 1 x p ln q x d x \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}dx ∫2+∞xplnqx1dx,
若 P > 1 P>1 P>1,则对任意q该反常积分都收敛;
若 P < 1 P<1 P<1,则对任意q该反常积分都发散;
若 P = 1 P=1 P=1,则q>1时该反常积分收敛,q≤1时该反常积分发散。
④常用反常积分四
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞+∞e−x2dx=π
对于一般的多数反常积分,如果可以化成p积分或q积分的形式,则化成即可再判断敛散性。
如果不能,则先尽可能地化简,然后选择合适的p积分或q积分,将其与之进行比较即可。