反常积分(2)

性质3,记住啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

若 $\int_{a}^{+ \infty}|f(x)|$收敛（也就是 $\int_{a}^{+ \infty}f(x)$绝对收敛的意思），则
$\int_{a}^{+ \infty}f(x)dx$亦收敛哦！
且有
$|\int_{a}^{+ \infty}f(x)|dx\le \int_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx \tag{3}$
一言以蔽之，绝对收敛的无穷积分本身也收敛。

非负函数无穷积分的收敛判别法

定理11.2(比较原则)

设 $f,g$定义在 $[a,+\infty)$，且都非负函数，且满足
$f(x) \le g(x)，\qquad x \in [a,+\infty)$
则 $右边收敛，则左边也收敛$
$左边发散，则右边也发散$

例题1
看看 $\int_{0}^{+\infty}\frac{sinx}{1+x^2}dx$收敛还是发散呢？？？？

推论1

$f(x)，g(x)$定义在 $[a,+\infty)$，且 $f(x) \ge 0，g(x)>0$， $\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c$

则

1. $0<c<+\infty$ ，两个狗东西同敛态。
2. $c=0$，若 $g收，则f收$
3. $c=+\infty$， $则g发散\rightarrow f发散$