Part 12(2) 含参广义积分（含参无穷积分和瑕积分）

含参积分是一类包含积分结构的函数，但积分变量不是函数自变量

3. 含参变量广义积分

3.1. 含参积分相关理论

3.1.1. 含参积分常义积分的定义

含参积分是一类特别的函数，函数的自变量为参量，函数中有积分结构，但自变量和积分变量不同。形如：
$\varphi(u)=\int_a^bf(x,u)\,\mathrm dx$
其中二元函数 $f(x,u)$定义在 $I=[a,b]\times[\alpha, \beta]$上，对 $\forall u\in[\alpha, \beta], f(x,u)$关于变量 $x$在 $[a,b]$上黎曼可积。则称： $\displaystyle\int_a^bf(x, u)\,\mathrm dx$为含参变量 $u$的常义积分

3.1.2. 含参常义积分的分析性质

这几个性质都首先要保证参数和主元构成的二元函数在指定区域上连续，所以如果存在边界的瑕点，我们需要补充定义。

3.1.2.1. 连续性

定理：（连续区域上可以有）参数直接取极限

设 $f(x,y)$在 $I=[a,b]\times[\alpha, \beta]$上连续，则 $\varphi(x)=\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x,y)\,\mathrm dy$在 $I^*=[a,b]$上连续。

这个定理说明：

• 整体的连续性可以转化成参数的连续性。
• 极限运算可以对参数单方面进行

以下是一个极端的例题(上下限也可以是参数的函数)：
$\begin{aligned} &\lim\limits_{a\to0}\int_a^{1+a}\frac{\mathrm dx}{1+x^2+a^2}\\ =&\int_0^1\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\arctan x\Big|_0^1=\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

3.1.2.2. 可积性

定理：（连续区域上）两个积分是可以交换的

这个成立性和累次积分的交换是一致的。

设区域上参量和积分变量都连续的函数 $f(x,y)$的一个含参积分为：
$\phi(x)=\int_\alpha^\beta f(x,y)\,\mathrm dy$
那么对这个参变量的积分，可以和主元的积分进行顺序的交换，即：
$\int_a^b\phi(x)\,\mathrm dx=\int_a^b\left[\int_\alpha^\beta f(x,y)\,\mathrm dy\right]\,\mathrm dx=\int_\alpha^\beta\left[\int_a^bf(x,y)\,\mathrm dx\right]\,\mathrm dy$

这提供了一种解决问题的思路。即：
在面临复杂的积分时，我们可以尝试将被积函数的部分结构凑成一个导函数的形式，并先积起来。然后交换这两个积分号，原问题或将得到解决。

补充：若边界存在瑕点，要补充定义，并对这些致瑕的部分（它们通常都不可积）换元

3.1.2.3. 可微性

定理：（对含参积分求参数的导数，）可以先对被积函数的参数求导

保证二元函数在二元区域上连续，对参数的偏导在参数区间上连续，则 $\displaystyle \phi(u)=\int_a^bf(x,u)\,\mathrm dx$在 $[\alpha, \beta]$上可微，且
$\frac{\mathrm d\phi(u)}{\mathrm du}=\frac{\displaystyle\mathrm d\int_a^bf(x,u)\,\mathrm dx}{\mathrm du}=\int_a^{b}\left[\frac{\partial}{\partial u}f(x,u)\right]\,\mathrm dx$

另外还有链式法则：
$\psi(u)=\int_{p(u)}^{q(u)}f(x,u)\,\mathrm dx\\ \psi'(u)=\int_{p(u)}^{q(u)}\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\,\mathrm dx+f(q, u)q'-f(p, u)p'$

关于这个法则的理解： $x$看似是与 $u$没有关系，但因为 $u$的变化决定着 $x$的变化，所以要变 $u$肯定是会影响到 $x$，所以对外表现在 $x$的位置上产生了变化。
这个问题当中还可以发现，其实变上限积分本来就是一种含参积分欸~记得当时讲变限积分就已经说到了这一点，后面的积分限写谁并不重要呢

这又提供了一种解决含参积分的思路，即对内先求导，从而使得原来的积分变量成为好积的。随后再对参量积分。

通常有如下几类常用变换：

1. 万能变换。适用于结构凑巧的类型；万能变换通常是下策。因为哪都能用，所以麻烦是必然的。
   
   如果不太凑巧的话，前面会出现关于参量的奇怪的分式结构，随后只能使用分部，如果这种分式真的很奇怪，将不可解。比如对于这个问题：
   
   如果对这个题目在求导后使用万能代换，将会出现一个 $\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\arctan \frac{2a}{a^2-1}$的怪异结构。这说明，看似万能的万能代换，并不简便？!

这就引出了第二种变换：

2. $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，看似很简单的式子，再结合 $\sin^2+\cos^2=1$可以将一系列复杂的(齐二次)三角式化成关于 $\tan$的单变元函数，在利用含参积分可微性解决问题的时候，这是一个很好的思路。如下：
   

   这个题目还有两个要点：

   1. 警告：要注意判定瑕点！判定的时候，构造单变元利用洛必达，是很好的选择。
   2. $\sec^2=1+\tan^2$，所以有 $\displaystyle\cos=\frac{1}{1+t^2}$

3.2. 含参无穷积分

3.2.1. 含参无穷积分的定义

即是将以上的含参积分的积分换成无穷积分。 $\forall u\in[\alpha,\beta],$
$\int_a^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx=\lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x,u)\,\mathrm dx=\lim\limits_{A\to+\infty}F(A,u)$

以下将含参广义积分代指含参无穷积分

3.2.2. 含参广义积分的收敛

根据广义积分收敛的定义，我们给出含参广义积分收敛的定义
$\forall\varepsilon>0,\exist A_0(\varepsilon, u_0)>a,\forall A>A_0:$
$\Big|\int_A^{+\infty}f(x,u_0)\,\mathrm d x\Big|<\varepsilon$

3.2.3. 一致收敛

若 $\sup\limits_{u_0\in[\alpha,\beta]}A_0(\varepsilon, u_0)<{+\infty}$，将导致什么结论？

用白话描述为对所有的参量，都能找到一个稳定的（换言之就是不与参量只有关的）阈值不为无穷大，使得高于这个阈值之后的积分值趋于零。

3.2.4. 几个重要判定定理

3.2.4.1. 一个充要条件——Cauchy定理

这是对上述问题（即导致什么结论）的回答，即什么是使得含参广义积分一致收敛的条件：

存在 $A(\varepsilon)>0,\ s.t.A'>A(\varepsilon), A''>A(\varepsilon),\forall u\in[\alpha, \beta]:$
$\left|\int_{A'}^{A''}f(x,u)\,\mathrm dx\right|<\varepsilon$

3.2.4.2. 含参广义积分的余项定理

记余项：
$\eta(A)=\sup\limits_{u\in[\alpha, \beta]}\Big|\int_A^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx\Big|$
那么广义含参积分的一致收敛的充要条件为
$\lim\limits_{A\to\infty}\eta(A)=0$

3.2.4.3. Weierstrass判别( $\ast$)

对应M-判别，或名强级数法。

$\begin{aligned} &1. |f(x,u)|\leq F(x),\forall u\in[\alpha, \beta], \forall x\in[a, +\infty)\\ &2. \int_a^{+\infty}F(x)\,\mathrm dx收敛 \end{aligned}$

则原积分一致收敛。

这个定理在无穷积分的一致收敛的判别中很常用。因为无穷积分在给出边界之后，利用边界，很容易找到一个“强级数”。

3.2.4.4. 子区间一致收敛与延拓定理

参数在区间上不一致收敛，但在这个区间上的任一闭子区间上一致收敛。则称内闭一致收敛。

若在 $J$的任一子区间上一致收敛，称为内子区间一致收敛。

含参广义积分内子区间的延拓定理：

设 $f(x,u)$在广义积分区间和参数区间上都连续，那么若 $\forall(\alpha,\beta),\int_a^{+\infty}f(x,u)\mathrm dx$一致收敛，则有：

1. $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,\beta)\,\mathrm dx$和 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,\alpha)\,\mathrm dx$收敛。
2. $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx$在 $[\alpha,\beta]$上一致收敛。

结合连续性和极限的保序性：
$u\to\alpha\Rightarrow\left|\int_{A'}^{A''}f(x,\alpha)\,\mathrm dx\right|\leq \varepsilon$

这个定理告诉我们，边界值附近一定要有一个确定的 $\delta$作保护才比较安全，否则很容易就因为边界原因而不一致收敛了！这也为我们后来研究连续性，提供解决一种定义域内不(简单地)一致收敛的常见(但不直接)问题的思路：

3.2.4.5. Dirichlet和Abel判别法

先前已经提到过一个常用判别：M-法。
但是M-法仅仅适用于绝对收敛的情形，如果是条件收敛，我们将无法使用。

所以提出D法和A法势在必行。

对广义积分：
$\int_a^{+\infty}f(x,y)g(x,y)\,\mathrm dx$

Dirichlet:

• $\displaystyle g(x,y)$单调趋于零
• $f$的积分对 $y$一致有界： $\displaystyle\left|\int_a^Af(x,y)\,\mathrm dx\right|\leq M$

Abel：

• $g(x,y)$单调有界
• $f$的积分一致收敛

注意：广义积分又是一个具有收敛模型的主体，所以用Abel会更多一些。
关于这两个定理的通性：都是"有界 $\times$收敛"的结构，只不过D法是函数的收敛，A法是积分的收敛

3.2.5. 重要结构

3.2.5.1. Dirichlet积分

$I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin\beta x}{x}\,\mathrm dx$

• 在任意不含 $\beta =0$的闭区间 $[a,b]$上一致收敛。
• 在任意含 $\beta=0$的闭区间 $[a,b]$上非一致收敛

简证：
原式
$=\int_{A\beta}^{+\infty}\frac{\sin z}{z}\,\mathrm dz$
由于 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm dx$收敛，可以有足够大的 $A\beta>A_0$
$\left|\int_{A\beta}^{+\infty}\frac{\sin z}{z}\,\mathrm dz\right|<\varepsilon$

如果包含 $\beta = 0$
$\int_{A\beta}^{+\infty}\frac{\sin z}{z}\,\mathrm dz\to\int_0^{+\infty}\sin z\,\mathrm dz\to\frac{\pi}{2}$
由极限的保序性得“余项”不为零。

这个积分值的计算我们将在可微性给出。

3.2.5.2. Gauss积分

$\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm dx=\frac{\sqrt \pi}{2}$

为了引出Gauss积分在含参积分中的应用，我们先给出这样一道例题。
这个题的解法，关键就在于找出其中的Gauss积分结构。

初印象：感觉这个题……就做到Gauss积分收敛就行了……
误区就正在于含参广义积分的参数范围一广，很容易就不收敛了，它并不简单的是一个常系数乘在积分之前。因而 $t$很小的时候（或者就取0），不等号右边趋于无穷大。可以把它理解成无穷瑕积分（所以分段是很必要的）

这个瑕点的处理很有意思，如果没有 $\sin x$的效应，那么0就是一个不折不扣的瑕点，有对应Dirichlet积分的结论：

对于含参Gauss积分
$I(t)=\int_0^{+\infty}\sqrt{t}e^{-tx^2}\,\mathrm dx, 0\leq t<+\infty$
在包含0的区间上不一致收敛。证明如下：

在以0为边界的开区间上仍然能保证一致收敛。因为 $\forall c, d>0, [c, d]$上都可以通过Weierstrass法证明收敛。由于任意性，所以得到 $(0, +\infty)$的一致收敛。

3.2.6. 一致收敛的含参广义积分的分析性质

3.2.6.1. 连续性和Dini定理

对变量 $u$在 $[\alpha, \beta]$上一致收敛，那么被积函数关于参数连续可以得到含参广义积分的连续性；积分变量的极限运算和积分可以交换

其逆定理为Dini定理，即定号含参广义积分由参数区间连续，可推一致收敛。

• Dini定理的说明：试想如果不一致收敛，就会出现余项很大的情况（整体值表现为无限大），那么在这个参数取值的邻域内就会出现一个瑕点，也就是不连续了。
• 从这个定理，我们反过来重新理解连续性：，如果对参数区间上各处取值都连续，那么它们对应的积分值必然都是常数值，从而一致收敛。
• 但是关于Dini定理还有一个问题，是不是会出现第一类间断点呢？：积分区间上就不该有间断点
• 与函数项级数的对比：广义积分相当于是和函数，在函数项级数里，很难有一个这样好（有关和函数）的条件，所以在函数项级数中我们没有这样一个对应的定理。

3.2.6.2. 可积性定理

如果含参广义积分在参数区间上一致收敛，对其参变量可积，积分变量和参变量的累次积分，顺序可以交换

简证：
$\int_\alpha^\beta\left(\int_a^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx\right)\,\mathrm du-\int_a^{A}\left(\int_\alpha^{\beta}f(x,u)\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx$
后项利用含参常义积分的交换，然后合并成为
$\int_\alpha^\beta\left(\int_A^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx\right)\,\mathrm du$
而内层因为一致收敛显然趋于0.所以整体趋于0，故而得证

3.2.6.3. 双广义区间的可积问题

我们直接给出其推广为内闭一致收敛的情形，这个定理在傅里叶级数那里将会用到。

设函数 $f$满足下列条件：

1. $f(x,u)$在 $[a, +\infty)\times[\alpha,+\infty)$上连续。（含参广义积分对被积变量和参量都连续）
2. $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx$关于 $u$在区间 $[\alpha,+\infty)$内闭一致收敛，关于 $x$在上 $[a,+\infty)$内闭一致收敛（对两个变量都内闭一致收敛）
3. $\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(\int_\alpha^{+\infty}|f(x,u)|\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx$和 $\displaystyle\int_\alpha^{+\infty}\left(\int_a^{+\infty}|f(x,u)|\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx$其一存在。

简证：
$\lim\limits_{\beta\to+\infty}\int_a^{+\infty}\left(\int_\alpha^{\beta}f(x,u)\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx=\int_a^{+\infty}\left(\int_\alpha^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx$
即证
$\lim\limits_{\beta\to+\infty}\int_a^{+\infty}\left(\int_\beta^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx=0$

这一步和余项定理暗合

接下来这一步就是说明为什么要有条件3了：利用余项，描述条件3，则会出现一个 $a_0(\varepsilon)$使得原式化成两个部分：
$\int_a^{a_0}\left(\int_\beta^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx+\int_{a_0}^{+\infty}\left(\int_\beta^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm du\right)\,\mathrm dx$
前项是一个“常数区间+内闭一致收敛”的结构，后项是一个可以利用条件3的结构。随后得证。

这里不厌其烦地记这个定理，希望傅里叶级数真的能派上用场……

3.2.6.4. 含参广义积分和函数项级数的相似性

任意递增趋向于无穷的数列 $\{A_n\}$分划出一系列的不均匀长度的区间上，在这一系列区间上的分段进行积分，每一段积分记为函数序列中的一项。那么这个：

分段积分序列对应的函数项级数级数与含参广义积分同敛散。
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,u)\,\mathrm dx=\sum\limits_{n=1}^\infty\phi_n(u)$
这个定理将含参变量广义积分和函数项级数联系在一起，所以结合先前对函数项级数的研究结果，得出另一套关于含参变量广义积分一致收敛相关定理的证明。

3.2.6.5. 可微性定理

由3.2.6.4. 含参广义积分的可微性可以转化为函数项级数的可微性。为了保证先前的函数项级数的几个条件的成立，含参广义积分应保证：

1. $\displaystyle f\in C^1([a, +\infty)\times[\alpha, \beta])$
2. 积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx$在参数区间上至少有一点收敛（北大版是一致收敛）
3. $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)\,\mathrm dx$在 $u\in[\alpha, \beta]$上一致收敛

则含参广义积分可微。同时可以先对函数求微分再对积分变量进行积分。

有了这个定理之后，我们就可以来计算Dirichlet积分的值了：

要点

• 收敛因子的使用：它能给原来收敛性不太明晰的积分以收敛性质。同时由于 $\lim\limits_{x\to0}e^{-ax}=1$所以在求值问题上并不会使得原有积分值发生偏差。
• 核心思路是对sin的Laplace变换
  $\int_0^{\infty}\frac{\sin s}{s}\,\mathrm ds=\int_0^\infty L(\sin t)(s)\,\mathrm ds=\int_0^\infty\frac{1}{1+s^2}\,\mathrm ds=\arctan s\Big|_0^\infty=\frac{\pi}{2}$
  

3.3. 广义积分理论的补充——瑕积分

3.3.1. 瑕积分的定义

二元函数在两重区间 $(a,b]\times[\alpha,\beta]$上连续，设在 $a$点任一右邻域无界。
$\forall u\in[\alpha,\beta],\int_a^bf(x,u)\,\mathrm dx$点点收敛。
则确定函数 $\displaystyle\phi(u)=\int_a^bf(x,u)\,\mathrm dx$成为含参变量 $u$的瑕积分

3.3.2. 瑕积分的一致收敛

$\exist\delta_0(\varepsilon)>0$，对参数区间上各点都有
$\left|\int_a^{a+\delta}\right|<\varepsilon$

3.3.3. 瑕积分的Cauchy

$\exists\delta_0(\varepsilon)>0, 0<\delta<\delta'<\delta_0$一致有
$\left|\int_{a+\delta}^{a+\delta'}\right|<\varepsilon$

3.3.4. Weierstrass定理

$1.\ \ |f(x,u)|\leq F(x),\forall u\in[\alpha,\beta], x\in(a,b]\\ 2.\ \int_a^bF(x)\,\mathrm dx收敛$
则原瑕积分收敛

3.3.5. Dirichlet和Abel判别

Dirichlet

• $f$含参积分一致有界
• $g$在趋于瑕点时一致收敛到0

Abel

• $f$含参积分一致收敛
• $g$在趋于瑕点时一致收敛（不要求零）：因而只需保证单调一致有界。

3.3.6. 分析性质

通常有一个被积函数连续的预设

• 含参瑕积分一致收敛，可推含参积分连续
• 含参瑕积分一致收敛，那么含参积分对参变量也可积，且两个积分号可交换
• 含参瑕积分一致收敛，被积函数导函数对应含参积分一致收敛，那么含参积分对参变量可导，且求微分和含参积分号可交换。