【MATLAB】数据分析之函数数值积分

一、数值积分问题的数学表达

$\int_{1}^{2}f(x)dx\approx \sum_{k=0}^{n}A_{k}f(x_{k}))$

$x_{k}$ 称为积分节点， $A_{k}$ 称为求积系数。右端公式称为左端定积分的某个数值积分。MATLAB支持三重以下的积分运算。分别为：

$\int_{x_{min}}^{x_{max}}f(x)dx$

$\int_{x_{min}}^{x_{max}}\int_{y_{min}}^{y_{max}}f(x,y)dxdy$

$\int_{x_{min}}^{x_{max}}\int_{y_{min}}^{y_{max}}\int_{z_{min}}^{z_{max}}f(x,y,z)dxdydz$

在计算积分时，要求积分区间是确定的。

二、一元函数的数值积分

1、quad函数：采用遍历的自适应辛普森法计算函数的数值积分。

适用于精度要求低，被积函数平滑性差的数值积分。

Q = quad(FUN,A,B)
Q = quad(FUN,A,B,TOL)
Q = quad(FUN,A,B,TOL,TRACE)
[Q,FCNT] = quad(...)

FUN为被积函数的句柄，FUN应该接收向量输入，并输出相同长度的向量。

A，B分别是积分的起始值和结束值。

TOL用于控制自适应辛普森法的误差，增大TOL可以加快计算速度，但是计算精度下降。

FCNT为函数计算的次数。

2、quadl函数：采用遍历的自适应Lobatto法计算函数的数值积分。

适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分。

用法与quad相同。

Q = quadl(FUN,A,B)
Q = quadl(FUN,A,B,TOL)
Q = quadl(FUN,A,B,TOL,TRACE)
[Q,FCNT] = quadl(...)

quad有较快的计算速度，但是准确性较差；而quadl函数需要更多的计算时间，但具有较高的准确性。

三、quadv函数：一次可以计算多个一元函数的数值积分。k取不同的值，积分结果不尽相同。

$\int_{0}^{1}x^{_k} dx,k=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n$

Q = quadv(FUN,A,B)
Q = quadv(FUN,A,B,TOL)
Q = quadv(FUN,A,B,TOL,TRACE)
[Q,FCNT] = quadv(...)

quad ，quadl，quadv三个函数都要求被积函数FUN必须是函数句柄，同时积分限必须是有限的。

例题：计算 $\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{3}-2x-5}dx$

clear all;clc;
F = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);
Q = quadl(F,0,2)

Q =

   -0.4605

二、二重数值积分

二重数值积分计算函数dblquad

dbquad函数可以用来计算被积函数在积分区域 $x\in \begin{bmatrix}x_{min}, &x_{max} \end{bmatrix},y\in \begin{bmatrix}y_{min}, &y_{max} \end{bmatrix}$ 内的积分数值。该函数先计算内积分值，然后利用内积分的中间结果来计算二重积分。

dxdy：所以x为内积分变量，y为外积分变量。

dblquad函数的调用格式：

Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX)
Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,TOL)
Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,TOL,@QUADL)
Q=dblquad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,TOL,MYQUADF)

FUN是被积函数的句柄。

XMIN,XMAX,YMIN,YMAX分别为x，y两个方向上的积分限。

TOL是绝对计算精度。

@QUADL和MYQUADF指定计算以为积分时使用的函数。

例题：计算积分 $\int_{0}^{\pi }\int_{\pi}^{2\pi}(ysinx+3cosy-1)dxdy$

clear all;clc;
F = @(x,y) y*sin(x)+3*cos(y)-1;
xmin=pi;
xmax=2*pi;
ymin=0;
ymax=pi;
q=dblquad(F,xmin,xmax,ymin,ymax)

q =

  -19.7392

三、三重数值积分

triplequad函数可以用来计算被积函数在空间区域 $x\in \begin{bmatrix}x_{min}, &x_{max} \end{bmatrix},y\in \begin{bmatrix}y_{min}, &y_{max} \end{bmatrix},z\in \begin{bmatrix}z_{min}, &z_{max} \end{bmatrix}$ 内的数值积分。

其调用格式如下：

Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX)
Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX,TOL)
Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX,TOL,MYQUADF)
Q=triplequad(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX,TOL,@QUADL)

上式中相关参数的含义同dblquad函数。