积分的数值解法

一、数学原理

二、实验内容
本实验由1个小实验组成，在进行积分计算时，若需要精度，可取ε=1e-8.积分的计算结果保留六位有效数字。
分别取5个节点和8个节点，用牛顿-柯特斯公式计算积分

代码实现：

function  y=NewtonCotes(fun,a,b,n)
if nargin==1
    [mm,nn]=size(fun);
    if mm>=8
        error('为了保证NewtonCotes积分的稳定性，最多只能有9个等距节点！')
    elseif nn~=2
        error('fun构成应为：第一列为x，第二列为y，并且个数为小于10的等距节点！')
    end
    xk=fun(1,:);
    fk=fun(2,:);
    a=min(xk);
    b=max(xk);
    n=mm-1;
elseif nargin==4
    % 计算积分节点xk和节点函数值fx
    xk=linspace(a,b,n+1);
    if isa(fun,'function_handle')
     for i=1:n+1
         fx(i)=fun(xk(i));
     end
    else
        error('fun积分函数的句柄')
    end
else
    error('输入参数错误，请参考函数帮助！')
end
% 计算柯特斯系数
format rat  %以分数形式输出
Ck=cotescoeff(n);
% 计算求积系数
Ak=(b-a)*Ck;
% 求和算积分
y=Ak*fx';
format long
function Ck=cotescoeff(n)
%{
    
    
% 由于柯特斯系数最多7阶，可以直接使用
switch n 
    case 1 
        Ck=[1,1]/2;
    case 2 
        Ck=[1,4,1]/6;
    case 3 
        Ck=[1,3,3,1]/8;
    case 4 
        Ck=[7,32,12,32,7]/90;
    case 5 
        Ck=[19,75,50,50,75,19]/288;
    case 6 
        Ck=[41,216,27,272,27,216,41]/840;
    case 7 
        Ck=[751,3577,1323,2989,2989,1323,3577,751]/17280;
    otherwise
       fprintf('n=%d',n), error('错误的柯特斯阶数')
end
%}

% 但是为了体现公式2.2，也可以使用程序计算n阶柯特斯系数
for i=1:n+1
    k=i-1;
    Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n);
end

function f=intfun(t,n,k)
% 柯特斯系数中的积分表达式
f=1;
for i=[0:k-1,k+1:n]
    f=f.*(t-i);
end

例题：
Example
format compact %(有3处需要根据注释填写代码)
clc,clear
ep=1e-8;
fun=@ (x)sin(x.*x);%（1）填写函数形式，必须可以接受矢量输入
y1= NewtonCotes(fun,0,1,4);  %（2）5节点
y2= NewtonCotes(fun,0,1,7);  %（3）8节点
%若无结果，请仔细阅读指导书的实验分析1，再修改代码使其有结果
y3=integral(fun,0,1); %matlab提供的求积分函数，可认为是相对精确的

fprintf('牛顿-柯特斯求积结果,5节点:%.6f\n',y1);
fprintf('牛顿-柯特斯求积结果,8节点:%.6f\n',y2);
fprintf('                 较精确值：%.6f\n',y3);    

结果与分析：