赫尔德不等式详细证明
其中数
我们可以看到不等式(1)是齐次的,这意味着对于任意两个向量
的情况下来证明就可以了.
补充 :
λ 和μ 可取任意数,则总存在λ=1∑nk=1|ak|p 和μ=1∑nk=1|bk|q
于是假设条件 (3) 成立;我们可以来证明
这里要引入 杨氏不等式
杨氏不等式证明:
图1(ξ 取10)我们研究由方程
η=ξp−1(ξ>0) 或同样的方程ξ=ηp−1(η>0) 所确定的(η,ξ) 平面上的曲线.由图(1)中显然可以看出,对于任意选取的正数a 与b 都有S1+S2⩾ab 我们来计算S1 与S2 的面积:
S1=∫a0ξp−1dξ=app
S2=∫b0ηq−1dη=bqq
于是,数的不等式
成立.ab⩽app+bqq(5)
以上为杨氏不等式的证明过程.
把不等式(5)中的
具体详细证明过程如下:
补充:
先将a,b 替换为|ak|,|bk| 得到下式
∑k=1n|akbk|⩽∑nk=1|ak|pp+∑nk=1|bk|qq
结合 式(3)
∑k=1n|akbk|⩽1p+1q
结合 式(2)
∑k=1n|akbk|⩽1
这就证明了不等式(4),也就证明了一般的赫尔德不等式.
注:证明摘自《函数论与泛函分析初步(第七版)》p29 并加入自己一些理解.