【概率论】切比雪夫不等式证明

最近在学习随机数学（概率论），在随机变量及其分布这一章节中提到了一个切比雪夫不等式，对于其具体意义暂还不太理解，但是证明在结合了网上的一些资料了解了一下，这里给出其证明方法。

定义

首先给出我们这里会用到的几个定义：

方差的定义

若 $E(X-E(X))^2$存在，则称 $E(X-E(X))^2$为 $X$的方差，记为 $Var(X)$或者 $D(X)$。
$\begin{array}{cc} Var(X)=E(X-E(X))^2= \begin{cases} \sum\limits_i(x_i-E(X))^2P(x_i)& 离散情况下 \\ \int_{-\infty} ^{+\infty}(x-E(X))^2P(x)dx & 连续情况下 \end{cases} \end{array}$
因为不同的书中表述方式不同，现在解释一下里面各个函数的意义， $E(X)$即期望， $P(X)$即为概率/密度函数， $Var(X)$为方差（也可写作 $D(X)$）

一个常用的不等式

$|x-a| \geq b$ 可以推导出 $(x-a)^2 \geq b^2$

切比雪夫不等式

下面给出切比雪夫不等式的定义：
$\begin{array}{cc} P(|X-E(X)| \geq \epsilon)&\leq& \frac{Var(X)}{\epsilon^2}&大偏差\\ P(|X-E(X)| < \epsilon)&\geq& 1-\frac{Var(X)}{\epsilon^2}&小偏差 \end{array}$

证明

那么现在我们开始证明切比雪夫不等式中的大偏差。
这里为了方程简单一点，我们设 $E(X)=e$
首先由方差的定义（连续情况下）可以知道
$Var(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(X-e)^2P(X)dX$
那么我们以 $e-\epsilon$和 $e+\epsilon$为分界线(由 $|X-E(X)| < \epsilon$得)，将积分裂开，然后我们用到前面的不等式那里讲的 $|x-a| \geq b$ 可以推导出 $(x-a)^2 \geq b^2$，化为以下结果：
$\begin{aligned} Var(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}(X-e)^2P(X)dX\\ &\geq\int_{-\infty}^{e-\epsilon}\epsilon^2P(X)dX+\int_{e+\epsilon}^{+\infty}\epsilon^2P(X)dX \end{aligned}$
当且仅当 $\epsilon = 0$的时候等于号成立。
这一步因为 $\epsilon$是一个常数，所以在积分中可以把 $\epsilon^2$提出来，那么可以化成下面的式子。
$\begin{aligned} Var(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}(X-e)^2P(X)dX\\ &\geq\int_{-\infty}^{e-\epsilon}\epsilon^2P(X)dX+\int_{e+\epsilon}^{+\infty}\epsilon^2P(X)dX\\ &=\epsilon^2(\int_{-\infty}^{e-\epsilon}P(X)dX+\int_{e+\epsilon}^{+\infty}P(X)dX) \end{aligned}$
这一步之后，可以推导出下面的式子：
$\begin{aligned} Var(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}(X-e)^2P(X)dX\\ &\geq\int_{-\infty}^{e-\epsilon}\epsilon^2P(X)dX+\int_{e+\epsilon}^{+\infty}\epsilon^2P(X)dX\\ &=\epsilon^2(\int_{-\infty}^{e-\epsilon}P(X)dX+\int_{e+\epsilon}^{+\infty}P(X)dX)\\ &=\epsilon^2P(x\leq e-\epsilon|x \geq e+\epsilon)\\ &=\epsilon^2P(|x-e|<\epsilon) \end{aligned}$
小偏差和大偏差互为对立事件可证。

理解仍有不到位，如果有错误，请指正。