O(n)求逆元

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前言

本文主要是写给自己看的因为实在是太简单了但还是记不住啊

推导

求x在模p意义下的逆元

首先有（这里的模数是x）
$p\equiv y\,(mod\,x)$
显然可以得到
$p-\left \lfloor \frac{p}{x}\right \rfloor x=y$
然后转回同余方程（注意这里的模数变成了p）
$-\left \lfloor \frac{p}{x}\right \rfloor x\equiv y\,(mod\,p)$
交换一下xy的位置
$-\left \lfloor \frac{p}{x}\right \rfloor y^{-1}\equiv x^{-1}\,(mod\,p)$
$x^{-1}\equiv -\left \lfloor \frac{p}{x}\right \rfloor y^{-1}\,(mod\,p)$

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好吧用人话再写一遍
p mod x=y
p-(p/x)*x=y （注意这里的除是整除）
-(p/x)*x mod p=y
-(p/x)*y^-1 mod p=x^-1
x^-1=-(p/x)*y^-1 mod p

因为y=p mod x<x，所以可以顺推