本文介绍\(O(n)\)处理\([1, n]\)在模\(P\)意义下的逆元的方法。
结论
\[inv_i \equiv -\lfloor \frac{P}{i} \rfloor * inv_{(P \bmod i)} \pmod P\]
证明
现在要求\(i\)的逆元：
设\(a = \lfloor \frac{P}{i} \rfloor， b = P \bmod i\)，则
\[a * i + b \equiv 0 \pmod P\]
\[-a * i \equiv b \pmod P\]
等式两边同除\(i * b\)得
\[-a * inv[b] = inv[i]\]
将\(a = \lfloor \frac{P}{i} \rfloor， b = P \bmod i\)代入上式得
\[inv_i \equiv -\lfloor \frac{P}{i} \rfloor * inv_{(P \bmod i)} \pmod P\]