从O(n^3) 到 O(n)求最大连续和

最大连续和问题：给出一个长度为n的序列A1， A2， A3，······ An，求最大连续和。或者这样理解：要求找到1≤i≤j≤n，使得Ai+ Ai+1 + ······ +Aj尽量大。

【分析】

    这时候最容易想到的就是暴力枚举了，，，

代码如下：

 1 for(int i=1; i<=n; i++) {
 2     for(int j=i; j<=n; j++) {
 3         int sum = 0;
 4         for(int k=i; k<=j; k++)
 5             sum += val[k];
 6         //Max = Max>sum? Max:sum;
 7         if(sum > Max) { // 这里记录了下标， 若不需要的话可换成上面一句
 8             Max = sum;
 9             ii = i;
10             jj = j;
11         }
12     }
13 }

很显然，这是一个O(N^3) 的算法，理论n的最大范围为1000，实际上约为1400左右。

怎么优化呢，让我们来想想这个算法：设Si = A1 + A2 + A3 + ······ + Ai，则Ai+1 + Ai+2 + ······ + Aj = Sj - Si-1

其含义就是“连续子序列之和等于两个前缀和之差”，我们很容易写出以下代码：

1 ​memset(sum, 0, sizeof(sum));
2 for(int i=1; i<=n; i++) sum[i] = sum[i-1] + val[i];
3 for(int i=1; i<=n; i++)
4     for(int j=i; j<=n; j++)
5         Max = max(Max, sum[j]-sum[i-1]);

其时间复杂度为O(n^2)，虽然少了一层循环，但复杂度还是很高

再想想能不能在优化了，O(nlogn)的算法有什么呢，，对了，就是分治

我们先将这个序列分成元素个数尽量相等的两半，求出完全位于左边或者完全位于右边的最佳序列，然后求出起点位于左边、终点位于右边的最大连续和序列，并和子问题的最优解比较。

代码如下：

 1 ​int solve(int *val, int x, int y) {
 2     if(y-x == 1) return val[x]; // 只有一个元素，返回 
 3     int m = x + (y-x) / 2; // 划分[x, m), [m, y)
 4     int Max_S = max(solve(val, x, m), solve(val, m, y));
 5     int v, L, R;
 6     v = 0; L = val[m-1];
 7     for(int i=m-1; i>=x; i--) L = max(L, v+=val[i]);
 8     v = 0; R = val[m];
 9     for(int i=m; i<=y; i++) R = max(R, v+=val[i]);
10     return max(Max_S, L+R);
11 }

该算法是O(nlogn)的，已经能通过很大的数据了，但有没有更好的方法呢？

答案当然是有啦，比O(nlogn)还小的就是O(n)的算法啦，而且还不止一种：

 1 ​int solve_1() {
 2     int n; scanf("%d", &n);
 3     int Now; scanf("%d", &Now); // 先读入第一个数 
 4     int Temp, Ans = Now; // 第一个数给 Ans 
 5     if(Now > 0) Temp = Now; // 如果第一个数是正的，则有价值维护 
 6     for(int i=2; i<=n; i++) {
 7         scanf("%d", &Now);
 8         Temp += Now; // 计算前 ？个连续元素和 
 9         if(Temp > Ans) Ans = Temp; // 出现了更优解，更新 
10         if(Temp < 0) Temp = 0; // 如果过前面的和小于0了，就没有维护的价值了 
11     }
12     printf("%d\n", Ans); //输出答案 
13 }

 1 ​void solve_2() {
 2     int Max = -99999, Ans[MAXN];
 3     memset(Ans, 0, sizeof(Ans));
 4     int n; scanf("%d", &n);
 5     for(int i=1; i<=n; i++) {
 6         int x; scanf("%d", &x);
 7         Ans[i] = max(Ans[i-1]+x, x); // DP
 8         Max = max(Max, Ans[i]);
 9     }
10     printf("%d\n", Max);
11 }