求欧拉函数值 && 打表O(n)

在数论，对正整数n，欧拉函数是1~n的数中与n互质的数的数目，我们记为 $φ(n)$，(后面欧拉定理中会用到)。此函数以其首名研究者欧拉命名。例如 $φ(8)=4$，因为1,3,5,7均和8互质。

$φ(n)$求解公式：
现假设 $n$有 $r$个质因子p₁、p₂、p₃、、、p_r，则：

即 $φ(n)=n\prod_{i=1}^r (1-\frac{1}{p~i~})$

欧拉函数的两个性质：来自欧拉函数及其证明（这两个性质可以推出上面的公式）

• 欧拉函数既然是积性函数，就说明如果n可以分解成两个互质的整数之积， $n = p1 × p2$，则
  $φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)$
• 如果n是质数的某一个次方，即n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
  $φ(n) =p^k- p^ {k-1}=p^{k-1}*(p-1)$

1、单独求某个欧拉函数值代码： $O(\sqrt{n})$

int fn(int x)
{
    int ans=x;
    for(int i=2; i<=sqrt(x); i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)
        ans-=ans/x;
    return ans;
}

2、既然跟n的所有质因子有关，那么就可以利用之前筛素数的知识：埃氏筛法和欧拉筛

$\implies$质数打表———埃氏筛&&欧拉筛

2.1 求1~n的欧拉函数值： $O(nloglogn)$
//埃氏筛法中每个合数会被它的每个质因子筛一遍，就完美地求出欧拉函数值了

bool vis[manx];
void make_prime(int n)
{
     memset(vis,0,sizeof(vis));
     vis[0]=vis[1]=1;
     for(int i=1;i<=n;i++)
          ans[i]=i;
     for(int i=2;i<=n;i++)
     {
          if(!vis[i])
          {
               for(int j=i;j<=n;j+=i)
               {
                    vis[j]=1;
                    ans[j]=ans[j]*(i-1)/i;//主角在这里
               }
          }
     }
}

2.2 求1~n的欧拉函数值： $O(n)$
原理：以下证明来自欧拉线性筛（筛质数，求欧拉函数）

那么，为了求可以在可以在线性时间内求出来所有的欧拉函数，需要事先知道三个性质：
对于一个质数 $p$:
性质1： $φ( p)=p-1$;
因为p为质数，而从1到 $p$，只有 $p$与 $p$自本身不互质，其余的 $(p-1)$个数字都与 $p$互质，因此得出性质1；
性质2：对于 $i$% $p==0 , φ(i * p)=p * φ(i)$;
性质3：对于 $i$% $p ! = 0$, $φ (i * p) = φ(i) * (p-1);$
利用了欧拉函数的积性。而又通过性质1可知, $p-1=φ( p)$,因此 $φ(i*p)=φ(i)(p-1)=φ(i)*φ ( p)$;
这个，本人才疏学浅，看了各种证明，但还是不明白性质2，性质3是怎么得出来的，所以先当作结论记住吧。
知道了这三个结论之后，在配合欧拉筛筛质数，就可以得出范围内所有的数字的欧拉函数。

代码：

void make_prime(int n)
{
    int cou=0,ans[manx];
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[0]=vis[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cou++]=i;
            ans[i]=i-1;//改动部分1（对应性质1）
        }
        for(int j=0; j<cou; j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)
                break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                ans[i*prime[j]]=ans[i]*prime[j];//改动部分2（对应性质2）
                break;
            }
            else
                ans[i*prime[j]]=ans[i]*ans[prime[j]];//改动部分3（对应性质3）
                //或者写成ans[i*prime[j]]=ans[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

例题：Farey Sequence
感想：质因子是个神奇的存在