【数学】【数论】中国剩余定理

写在前面

　　记录了个人的学习过程，同时方便复习

中国剩余定理

【物不知数】是中国古代著名算题

原载《孙子算经》卷下第二十六题：

“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何?”

当时虽已有了答案23，但它的系统解法是秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的

中国剩余定理是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题

——bia度百科

　　有x个物件，三个三个数剩2个，五个五个位数剩3个，七个七个数剩2个

　　那么就是求解以下同余方程：

　　　　x ≡ 2 (MOD 3)

　　　　x ≡ 3 (MOD 5)

　　　　x ≡ 2 (MOD 7)

　　可以用分治的思想来做

　　先求得这样的三个数，使得对于每个模数而言，仅有模它得到的余数为1

(注意，这样的解法仅在模数两两互质的情况下成立)

　　　　x₁ ≡ 1 (MOD 3)　　x₂ ≡ 0 (MOD 3)　　x₃ ≡ 0 (MOD 3)

　　　　x₁ ≡ 0 (MOD 5)　　x₂ ≡ 1 (MOD 5)　　x₃ ≡ 0 (MOD 5)

　　　　x₁ ≡ 0 (MOD 7)　　x₂ ≡ 0 (MOD 7)　　x₃ ≡ 1 (MOD 7)

　　　　就第一组x₁的同余方程来说，它的解是5*7*n₁

　　　　n₁*35 ≡ 1 (MOD 3)

　　　　也就是 n₁*2 ≡ 1 (MOD 3)

　　　　n₁ == 2，x₁ == 70

　　　　同理得到n₂ == 1，x₂ == 21，n₃ == 1，x₃ == 15

　　因为要求的余数为2，3，2，分别将x₁，x₂，x₃乘上对应的余数

　　再把得到的x₁*2，x₂*3，x₃*2加起来就好了，这样的得到的就是一种解

　　希望求最小正整数解，把得到的数模上3，5，7的最小公倍数就好了

　　推广到其他的情形，需要解这样的一组同余方程

　　　　x ≡ k₁ (MOD p₁)

　　　　x ≡ k₂ (MOD p₂)

　　　　......

　　　　x ≡ k_n (MOD p_n)

　　　　(其中p₁，p₂，......，p_n之间两两互质)

　　求出它们的最大公因数M == ∏^k_i=1p_i (因为这些数两两互质)

　　则对于每一个数p，p与M/p的最大公因数为1

　　使用拓展欧几里得算法求出一组x，y，使得M/p*x + p*y ≡ 1 (MOD M)

　　留下来x就好，y不用管了

x == (x₁*p₁*k₁ + x₂*p₂*k₂ + ...... + x_n*p_n*k_n) MOD M

　　这样就算好啦

　　代码如下：

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int const MAXN=10010;
 6 int x,y;
 7 int k;//k组同余方程
 8 int a[MAXN];//每个同余方程的余数
 9 int b[MAXN];//每个同余方程的模数
10 int ans;
11 int lcm=1;
12 
13 void exgcd(int a,int b)
14 {
15     if(b==0){x=1;y=0;}
16     else{
17         exgcd(b,a%b);
18         int tmp=x;
19         x=y;y=tmp-a/b*y;
20     }
21     return;
22 }
23 
24 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
25 {
26     scanf("%d",&k);
27     for(int i=1;i<=k;++i)
28         scanf("%d%d",&b[i],&a[i]);
29         
30     for(int i=1;i<=k;++i)
31         lcm*=b[i];
32     for(int i=1;i<=k;++i)
33     {
34         exgcd(lcm/b[i],b[i]);
35         x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
36         
37         ans=(ans+(lcm/b[i])*x*a[i])%lcm;
38     }
39     
40     printf("%d",ans);
41     return 0;
42 }

Java：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3 
 4 class pony{
 5 
 6     static int MAXN=10010;
 7     static int x,y;
 8     static int k;//k组同余方程
 9     static int[] a=new int[MAXN];//每个同余方程的余数
10     static int[] b=new int[MAXN];//每个同余方程的模数
11     static int ans;
12     static int lcm=1;
13 
14     static void exgcd(int a,int b)
15     {
16         if(b==0){x=1;y=0;}
17         else{
18             exgcd(b,a%b);
19             int tmp=x;
20             x=y;y=tmp-a/b*y;
21         }
22         return;
23     }
24 
25     public static void main(String[] args) throws Exception {
26         
27         Scanner cin=new Scanner(System.in);
28         
29         k=cin.nextInt();
30         for(int i=1;i<=k;++i)
31         {
32             b[i]=cin.nextInt();
33             a[i]=cin.nextInt();
34         }
35 
36         for(int i=1;i<=k;++i)
37             lcm*=b[i];
38         for(int i=1;i<=k;++i)
39         {
40             exgcd(lcm/b[i],b[i]);
41             x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
42 
43             ans=(ans+(lcm/b[i])*x*a[i])%lcm;
44         }
45 
46         System.out.println(ans);
47     }
48 }

因为两两互质，最小公倍数就是这些数的积，我在对唯一分解定理的研究中提到过

拓展中国剩余定理

　　以上方法仅仅适用于每个模数两两互质的情况

　　但是最常见的情况还是所有模数不满足两两互质

　　这样的话，中国剩余定理就不再适用

　　需要使用[◹]拓展中国剩余定理

【数学】【数论】中国剩余定理

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