多项式的各类计算(多项式的逆/开根/对数/exp/带余除法/多点求值)

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• 预备知识：FFT/NTT

• 多项式的逆

  给定一个多项式 $F(x)$，请求出一个多项式 $G(x)$，满足 $F(x)*G(x) \equiv 1(mod\ x^n)$。
  系数对 $998244353$ 取模， $1≤n≤10^5$

  首先将多项式的长度拓展至 $2$的次幂，然后我们要求的是
  $G(x)*F(x) \equiv 1\ (mod\ x^n)$假设已经求出了
  $H(x)*F(x) \equiv 1\ (mod\ x^{⌈\frac n2⌉})$又因为有
  $G(x)*F(x) \equiv 1\ (mod\ x^{⌈\frac n2⌉})$两式相减有
  $(G(x)-H(x))*F(x) \equiv 0\ (mod\ x^{⌈\frac n2⌉})$ $G(x)-H(x) \equiv 0\ (mod\ x^{⌈\frac n2⌉})$因为左边得到的多项式前 ${⌈\frac n2⌉}$项都是 $0$，平方前 $n$项都是 $0$，所以有
  $(G(x)-H(x))^2 \equiv 0\ (mod\ x^{n})$ $G^2(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)\equiv 0\ (mod\ x^n)$两边同时乘以 $F(x)$
  $G(x)-2H(x)+H^2(x)F(x)\equiv 0\ (mod\ x^n)$ $G(x)\equiv2H(x)-H^2(x)F(x)\ (mod\ x^n)$
  我们就得到了递推式，时间复杂度如下 $T(n)=T(n/2)+O(nlog_2n)=O(nlog_2n)$

• 多项式开根

  给定一个 $n−1$ 次多项式 $F(x)$，求一个在 $mod\ x^n$ 意义下的多项式 $G(x)$，使得 $G^2(x) \equiv F(x) \ (mod\ x^n)$（多项式的系数在 $mod\ 998244353$ 的意义下进行运算， $1≤n≤10^5$）
  同样假设求出了 $H^2(x)\equiv F(x)\ (mod\ x^{⌈\frac n2⌉})$且有
  $G^2(x)\equiv F(x)\ (mod\ x^{⌈\frac n2⌉})$所以
  $G(x)-H(x) \equiv 0\ (mod\ x^{⌈\frac n2⌉})$ $(G(x)-H(x))^2 \equiv 0\ (mod\ x^{n})$ $G^2(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)\equiv 0\ (mod\ x^n)$ $F(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)\equiv 0\ (mod\ x^n)$
  所以 $2G(x)\equiv \frac{F(x)}{H(x)}+H(x)\ (mod\ x^n)$
  此处除法转化为乘上多项式的逆，就能递推了，时间复杂度也是 $O(nlog_2n)$

• 多项式求自然对数

  给出 $n−1$ 次多项式 $F(x)$，求一个 $mod\ x^n$ 下的多项式 $G(x)$，满足 $G(x) \equiv \ln F(x)\ (mod\ x^n)$.
  多项式的系数在 $mod\ 998244353$ 的意义下进行运算， $1≤n≤10^5$
  $\begin{aligned} G(x)&=ln\ F(x)\\ &=\int \frac{F'(x)}{F(x)}dx\\ &=\int F'(x)F^{-1}(x)dx \end{aligned}$所以 $G=F'F^{-1}$，直接多项式求逆+多项式求导积分就行了
  求逆复杂度 $O(nlog_2n)$，求导积分复杂度 $O(n)$，总时间复杂度仍是 $O(nlog_2n)$

• 多项式exp（待更…）

• 带余除法（待更…）

• 多项式多点求值（待更…）