《大话数据结构》读书笔记——平衡二叉树

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载. https://blog.csdn.net/MacYosef/article/details/78993980

平衡二叉树 概念

1. 平衡二叉树，是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和和右子树的高度差至多等于1。
2. 平衡因子，将二叉树的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF（Balance Factor）。
3. 最小不平衡子树，距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树。

平衡二叉树 构建

平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插人一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8} 的构建过程
图解：

图11不能简单的旋转，仔细观察图就会发现，根本原因在于结点7的BF是-2，而结点10的BF是1，符号不同意。前面的几次旋转，无论左还是右旋，最小不平衡树的根节点与它的子节点的BF符号是相同的。这就是不能直接旋转的关键。
所以需要先把它们转到符号统一：对结点9和结点10进行右旋，再以结点7位最小不平衡子树进行左旋。

主要算法：

/*二叉树的二叉链表结点结构定义*/
typedef struct BitNode                 /*结点结构*/
{
    int data;                          /*结点数据*/
    int bf;                            /*结点的平衡因子*/
    struct BitNode *lchild,*rchild;    /*左右孩子指针*/
}BitNode,*BiTree;

/*对以P为根的二叉树作右旋处理*/
/*处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根节点*/
void R_Rotate(BiTree *P)
{
    BiTree L;
    L=(*P)->lchild;
    (*P)->lchild = L->rchild;
    L->rchild=(*P);
    *P =L;
}

右旋图解：

#define LH 1
#define EH 0
#define RH -1
/*对以指针T所指根节点为根的二叉树作左平衡旋转处理*/
/*本算法结束时，指针T指向新的根节点*/
void LeftBalance(BiTree *T)
{
    BiTree L,Lr;
    L=(*T)->lchild;    /*L指向T的左子树根节点*/
    switch(L->bf)
    {    /*检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理*/
        case LH:   /*新结点插入在T的左孩子的左子树上，作右旋处理*/
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            R_Rotate(T);
            break;
        case RH:   /*新结点插入在T的左孩子的右子树上，作双旋处理*/
            Lr = L->rchild;   /*Lr指向T的左孩子的右子树根*/
            switch(Lr->bf)    /*修改T及其左孩子的平衡因子*/
            {
                case LH:
                    (*T)->bf = RH;
                    L->bf = EH;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = L->bf = EH;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf = EH;
                    L->bf = LH;
                    break;
            }
            Lr->bf = EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild);   /*对T的左子树作左旋平衡处理*/
            R_Rotate(T);               /*对T作右旋平衡处理*/
            break;
    }
}

左平衡旋转图解：

主函数：

//若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，
//则插入一个数据元素为e的新结点并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树失去平衡，
//则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{
    if(!*T)
    {   /*插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
        *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild=(*T)->rchild = NULL;
        (*T)->bf=EH;
        *taller = TRUE;
    }
    else
    {
        if(e==(*T)->data)
        {   /*树中已存在和e相同关键字的结点则不再插入*/
            *taller=FALSE;
            return FALSE;
        }
        if(e<(*T)->data)
        {   /*继续在T的左子树中进行搜索*/
            if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
                return FALSE;
            if(*taller) /*已插入到T的左子树中且左子树高度增加*/
            {
                switch((*T)->bf)   /*检查T的平衡度*/
                {
                case LH:  /*原本左子树比右子树高，需要作平衡处理*/
                    LeftBalance(T);
                    *taller=FALSE;
                    break;
                case EH:  /*原本左右子树等高，现因左子树增高而树增高*/
                    (*T)->bf=LH;
                    *taller = TRUE;
                    break;
                case RH:  /*原本右子树高，现左右子树等高*/
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = FALSE;
                    break;
                }
            }
        }
        else
        {   /*继续在T的左子树中进行搜索*/
            if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
                return FALSE;
            if(*taller)
                switch((*T)->bf)
                {
                    case LH:
                        (*T)->bf=EH;
                        *taller = FALSE;
                        break;
                    case EH:
                        (*T)->bf=RH;
                        *taller = TRUE;
                        break;
                    case LH:
                        RightBalance(T);
                        *taller = FALSE;
                        break;
                }
            }
        }
    }
    return TRUE;
}