大话数据结构之二叉树

上一遍写了一个简单的树，没有给大家介绍树的概念，对应初学者可能不是很容易看懂，等一下在这一篇介绍树的概念和自己看完大话数据结构写的一篇容易理解的二叉树。

1. 树的定义

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
(01) 每个节点有零个或多个子节点；
(02) 没有父节点的节点称为根节点；
(03) 每一个非根节点有且只有一个父节点；
(04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

2. 树的基本术语

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

结点的度：结点拥有的子树的数目。
叶子：度为零的结点。
分支结点：度不为零的结点。
树的度：树中结点的最大的度。

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

1. 二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

3、二叉树的性质（需要理解）

3.1满二叉树

3.2 完全二叉树

（一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树）重点了解

3.3 二叉查找树

定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。
如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；
如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。

(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

因为比较重要（逐步分析）：

1.1 节点定义

typedef int Type;

typedef struct BSTreeNode{
    Type   key;                    // 关键字(键值)
    struct BSTreeNode *left;    // 左孩子
    struct BSTreeNode *right;    // 右孩子
    struct BSTreeNode *parent;    // 父结点
}Node, *BSTree;

二叉查找树的节点包含的基本信息：

(01) key – 它是关键字，是用来对二叉查找树的节点进行排序的。
(02) left --> 它指向当前节点的左孩子。
(03) right – 它指向当前节点的右孩子。
(04) parent – 它指向当前节点的父结点。

1.2 创建节点

static Node* create_bstree_node(Type key, Node *parent, Node *left, Node* right)
{
    Node* p;
    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
        return NULL;
    p->key = key;
    p->left = left;
    p->right = right;
    p->parent = parent;
    return p;
}

2 遍历

这里讲解前序遍历、中序遍历、后序遍历3种方式。

2.1 前序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 访问根结点；
(02) 先序遍历左子树；
(03) 先序遍历右子树。

void preorder_bstree(BSTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        printf("%d ", tree->key);
        preorder_bstree(tree->left);
        preorder_bstree(tree->right);
    }
}

2.2 中序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 中序遍历左子树；
(02) 访问根结点；
(03) 中序遍历右子树。

void inorder_bstree(BSTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        inorder_bstree(tree->left);
        printf("%d ", tree->key);
        inorder_bstree(tree->right);
    }
}

2.3 后序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 后序遍历左子树；
(02) 后序遍历右子树；
(03) 访问根结点。
后序遍历代码

void postorder_bstree(BSTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        postorder_bstree(tree->left);
        postorder_bstree(tree->right);
        printf("%d ", tree->key);
    }
}

下面通过例子对这些遍历方式进行介绍。

对于上面的二叉树而言，
(01) 前序遍历结果： 3 1 2 5 4 6
(02) 中序遍历结果： 1 2 3 4 5 6
(03) 后序遍历结果： 2 1 4 6 5 3

3. 查找

递归版本的代码

Node* bstree_search(BSTree x, Type key)
{
    if (x==NULL || x->key==key)
        return x;

    if (key < x->key)
        return bstree_search(x->left, key);
    else
        return bstree_search(x->right, key);
}

非递归版本的代码

Node* iterative_bstree_search(BSTree x, Type key)
{
    while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
    {
        if (key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    return x;
}

4. 最大值和最小值

查找最大值的代码

Node* bstree_maximum(BSTree tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->right != NULL)
        tree = tree->right;
    return tree;
}

查找最小值的代码

Node* bstree_minimum(BSTree tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->left != NULL)
        tree = tree->left;
    return tree;
}

5. 前驱和后继

节点的前驱：是该节点的左子树中的最大节点。
节点的后继：是该节点的右子树中的最小节点。

查找前驱节点的代码

Node* bstree_predecessor(Node *x)
{
    // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
    if (x->left != NULL)
        return bstree_maximum(x->left);

    // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：
    // (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
    // (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。
    Node* y = x->parent;
    while ((y!=NULL) && (x==y->left))
    {
        x = y;
        y = y->parent;
    }

    return y;
}

查找后继节点的代码

Node* bstree_successor(Node *x)
{
    // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
    if (x->right != NULL)
        return bstree_minimum(x->right);

    // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：
    // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
    // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
    Node* y = x->parent;
    while ((y!=NULL) && (x==y->right))
    {
        x = y;
        y = y->parent;
    }

    return y;
}

6. 插入

插入节点的代码

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z)
{
    Node *y = NULL;
    Node *x = tree;

    // 查找z的插入位置
    while (x != NULL)
    {
        y = x;
        if (z->key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    z->parent = y;
    if (y==NULL)
        tree = z;
    else if (z->key < y->key)
        y->left = z;
    else
        y->right = z;

    return tree;
}

Node* insert_bstree(BSTree tree, Type key)
{
    Node *z;    // 新建结点

    // 如果新建结点失败，则返回。
    if ((z=create_bstree_node(key, NULL, NULL, NULL)) == NULL)
        return tree;

    return bstree_insert(tree, z);
}

bstree_insert(tree, z)是内部函数，它的作用是：将结点(z)插入到二叉树(tree)中，并返回插入节点后的根节点。
insert_bstree(tree, key)是对外接口，它的作用是：在树中新增节点，key是节点的值；并返回插入节点后的根节点。
注：本文实现的二叉查找树是允许插入相同键值的节点的！若用户不希望插入相同键值的节点，将bstree_insert()修改为以下代码即可。

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z)
{
    Node *y = NULL;
    Node *x = tree;

    // 查找z的插入位置
    while (x != NULL)
    {
        y = x;
        if (z->key < x->key)
            x = x->left;
        else  if (z->key > x->key)
            x = x->right;
        else
        {
            free(z); // 释放之前分配的系统。
            return tree;
        }
    }

    z->parent = y;
    if (y==NULL)
        tree = z;
    else if (z->key < y->key)
        y->left = z;
    else
        y->right = z;

    return tree;
}

7. 删除

删除节点的代码

static Node* bstree_delete(BSTree tree, Node *z)
{
    Node *x=NULL;
    Node *y=NULL;

    if ((z->left == NULL) || (z->right == NULL) )
        y = z;
    else
        y = bstree_successor(z);

    if (y->left != NULL)
        x = y->left;
    else
        x = y->right;

    if (x != NULL)
        x->parent = y->parent;

    if (y->parent == NULL)
        tree = x;
    else if (y == y->parent->left)
        y->parent->left = x;
    else
        y->parent->right = x;

    if (y != z) 
        z->key = y->key;

    if (y!=NULL)
        free(y);

    return tree;
}

Node* delete_bstree(BSTree tree, Type key)
{
    Node *z, *node; 

    if ((z = bstree_search(tree, key)) != NULL)
        tree = bstree_delete(tree, z);

    return tree;
}

bstree_delete(tree, z)是内部函数，它的作用是：删除二叉树(tree)中的节点(z)，并返回删除节点后的根节点。
delete_bstree(tree, key)是对外接口，它的作用是：在树中查找键值为key的节点，找到的话就删除该节点；并返回删除节点后的根节点。

8. 打印

打印二叉树的代码

void print_bstree(BSTree tree, Type key, int direction)
{
    if(tree != NULL)
    {
        if(direction==0)    // tree是根节点
            printf("%2d is root\n", tree->key);
        else                // tree是分支节点
            printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");

        print_bstree(tree->left, tree->key, -1);
        print_bstree(tree->right,tree->key,  1);
    }
}

print_bstree(tree, key, direction)的作用是打印整颗二叉树(tree)。其中，tree是二叉树节点，key是二叉树的键值，而direction表示该节点的类型：

direction为 0，表示该节点是根节点;
direction为-1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
direction为 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。

9. 销毁二叉树

销毁二叉树的代码

void destroy_bstree(BSTree tree)
{
    if (tree==NULL)
        return ;

    if (tree->left != NULL)
        destroy_bstree(tree->left);
    if (tree->right != NULL)
        destroy_bstree(tree->right);

    free(tree);
}

整体代码：

二叉查找树的头文件(bstree.h)

#ifndef _BINARY_SEARCH_TREE_H_
#define _BINARY_SEARCH_TREE_H_

typedef int Type;

typedef struct BSTreeNode{
    Type   key;                    // 关键字(键值)
    struct BSTreeNode *left;    // 左孩子
    struct BSTreeNode *right;    // 右孩子
    struct BSTreeNode *parent;    // 父结点
}Node, *BSTree;

// 前序遍历"二叉树"
void preorder_bstree(BSTree tree);
// 中序遍历"二叉树"
void inorder_bstree(BSTree tree);
// 后序遍历"二叉树"
void postorder_bstree(BSTree tree);

// (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
Node* bstree_search(BSTree x, Type key);
// (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
Node* iterative_bstree_search(BSTree x, Type key);

// 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。
Node* bstree_minimum(BSTree tree);
// 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。
Node* bstree_maximum(BSTree tree);

// 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
Node* bstree_successor(Node *x);
// 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
Node* bstree_predecessor(Node *x);

// 将结点插入到二叉树中，并返回根节点
Node* insert_bstree(BSTree tree, Type key);

// 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点
Node* delete_bstree(BSTree tree, Type key);

// 销毁二叉树
void destroy_bstree(BSTree tree);

// 打印二叉树
void print_bstree(BSTree tree, Type key, int direction);

#endif

二叉查找树的实现文件(bstree.c)

/**
 * 二叉搜索树(C语言): C语言实现的二叉搜索树。
 *
 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "bstree.h"


/*
 * 前序遍历"二叉树"
 */
void preorder_bstree(BSTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        printf("%d ", tree->key);
        preorder_bstree(tree->left);
        preorder_bstree(tree->right);
    }
}

/*
 * 中序遍历"二叉树"
 */
void inorder_bstree(BSTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        inorder_bstree(tree->left);
        printf("%d ", tree->key);
        inorder_bstree(tree->right);
    }
}

/*
 * 后序遍历"二叉树"
 */
void postorder_bstree(BSTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        postorder_bstree(tree->left);
        postorder_bstree(tree->right);
        printf("%d ", tree->key);
    }
}

/*
 * (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
 */
Node* bstree_search(BSTree x, Type key)
{
    if (x==NULL || x->key==key)
        return x;

    if (key < x->key)
        return bstree_search(x->left, key);
    else
        return bstree_search(x->right, key);
}

/*
 * (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
 */
Node* iterative_bstree_search(BSTree x, Type key)
{
    while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
    {
        if (key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    return x;
}

/* 
 * 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。
 */
Node* bstree_minimum(BSTree tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->left != NULL)
        tree = tree->left;
    return tree;
}
 
/* 
 * 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。
 */
Node* bstree_maximum(BSTree tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->right != NULL)
        tree = tree->right;
    return tree;
}

/* 
 * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
 */
Node* bstree_successor(Node *x)
{
    // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
    if (x->right != NULL)
        return bstree_minimum(x->right);

    // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：
    // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
    // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
    Node* y = x->parent;
    while ((y!=NULL) && (x==y->right))
    {
        x = y;
        y = y->parent;
    }

    return y;
}
 
/* 
 * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
 */
Node* bstree_predecessor(Node *x)
{
    // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
    if (x->left != NULL)
        return bstree_maximum(x->left);

    // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：
    // (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
    // (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。
    Node* y = x->parent;
    while ((y!=NULL) && (x==y->left))
    {
        x = y;
        y = y->parent;
    }

    return y;
}

/*
 * 创建并返回二叉树结点。
 *
 * 参数说明：
 *     key 是键值。
 *     parent 是父结点。
 *     left 是左孩子。
 *     right 是右孩子。
 */
static Node* create_bstree_node(Type key, Node *parent, Node *left, Node* right)
{
    Node* p;

    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
        return NULL;
    p->key = key;
    p->left = left;
    p->right = right;
    p->parent = parent;

    return p;
}

/* 
 * 将结点插入到二叉树中
 *
 * 参数说明：
 *     tree 二叉树的根结点
 *     z 插入的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z)
{
    Node *y = NULL;
    Node *x = tree;

    // 查找z的插入位置
    while (x != NULL)
    {
        y = x;
        if (z->key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    z->parent = y;
    if (y==NULL)
        tree = z;
    else if (z->key < y->key)
        y->left = z;
    else
        y->right = z;

    return tree;
}

/* 
 * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中
 *
 * 参数说明：
 *     tree 二叉树的根结点
 *     key 插入结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* insert_bstree(BSTree tree, Type key)
{
    Node *z;    // 新建结点

    // 如果新建结点失败，则返回。
    if ((z=create_bstree_node(key, NULL, NULL, NULL)) == NULL)
        return tree;

    return bstree_insert(tree, z);
}

/* 
 * 删除结点(z)，并返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree 二叉树的根结点
 *     z 删除的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
static Node* bstree_delete(BSTree tree, Node *z)
{
    Node *x=NULL;
    Node *y=NULL;

    if ((z->left == NULL) || (z->right == NULL) )
        y = z;
    else
        y = bstree_successor(z);

    if (y->left != NULL)
        x = y->left;
    else
        x = y->right;

    if (x != NULL)
        x->parent = y->parent;

    if (y->parent == NULL)
        tree = x;
    else if (y == y->parent->left)
        y->parent->left = x;
    else
        y->parent->right = x;

    if (y != z) 
        z->key = y->key;

    if (y!=NULL)
        free(y);

    return tree;
}

/* 
 * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree 二叉树的根结点
 *     z 删除的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* delete_bstree(BSTree tree, Type key)
{
    Node *z, *node; 

    if ((z = bstree_search(tree, key)) != NULL)
        tree = bstree_delete(tree, z);

    return tree;
}

/*
 * 销毁二叉树
 */
void destroy_bstree(BSTree tree)
{
    if (tree==NULL)
        return ;

    if (tree->left != NULL)
        destroy_bstree(tree->left);
    if (tree->right != NULL)
        destroy_bstree(tree->right);

    free(tree);
}

/*
 * 打印"二叉树"
 *
 * tree       -- 二叉树的节点
 * key        -- 节点的键值 
 * direction  --  0，表示该节点是根节点;
 *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
 *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
 */
void print_bstree(BSTree tree, Type key, int direction)
{
    if(tree != NULL)
    {
        if(direction==0)    // tree是根节点
            printf("%2d is root\n", tree->key);
        else                // tree是分支节点
            printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");

        print_bstree(tree->left, tree->key, -1);
        print_bstree(tree->right,tree->key,  1);
    }
}

#二叉查找树的测试程序(btree_test.c)

/**
 * C 语言: 二叉查找树
 *
 */

#include <stdio.h>
#include "bstree.h"

static int arr[]= {1,5,4,3,2,6};
#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )

void main()
{
    int i, ilen;
    BSTree root=NULL;

    printf("== 依次添加: ");
    ilen = TBL_SIZE(arr);
    for(i=0; i<ilen; i++)
    {
        printf("%d ", arr[i]);
        root = insert_bstree(root, arr[i]);
    }

    printf("\n== 前序遍历: ");
    preorder_bstree(root);

    printf("\n== 中序遍历: ");
    inorder_bstree(root);

    printf("\n== 后序遍历: ");
    postorder_bstree(root);
    printf("\n");

    printf("== 最小值: %d\n", bstree_minimum(root)->key);
    printf("== 最大值: %d\n", bstree_maximum(root)->key);
    printf("== 树的详细信息: \n");
    print_bstree(root, root->key, 0);

    printf("\n== 删除根节点: %d", arr[3]);
    root = delete_bstree(root, arr[3]);

    printf("\n== 中序遍历: ");
    inorder_bstree(root);
    printf("\n");

    // 销毁二叉树
    destroy_bstree(root);
}