数据结构---平衡二叉树

文章目录

一、为什么引入平衡二叉树

二、平衡二叉树：（AVL树）

三、平衡二叉树的分析与调整

四、 平衡二叉树的实现

一、为什么引入平衡二叉树

效率高！

对比：

二、平衡二叉树：（AVL树）

空树，或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1

• 平衡二叉树，也被称为高度平衡树。相比于”二叉查找树”，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。
• 平衡二叉树的高度是末尾结点到根节点的路径，即边数。高度为0时，总结点数为1.
• 设高度为h的平衡二叉树的最少结点数为n（h）。结点数最少时：
  
  

三、平衡二叉树的分析与调整

1.分析

当我们在一个平衡二叉排序树上插入一个结点时，有可能导致失衡，即出现平衡因子绝对值大于一的结点

2.平衡调整的四种类型

原则：

• 降低高度
• 保持二叉排序树的性质

1. LL型

• B结点带左子树一起上升
• A结点成为B的右孩子
• 原来B结点的右子树作为A的左子树
  

2. RR型

• B结点带右子树一起上升
• A结点成为B的左孩子
• 原来B结点的左子树作为A的右子树
  
  图例：
  
  调整后：
  

3. LR型

• C结点穿过A、B结点上升
• B结点成为C的左孩子
• A结点成为C的右孩子
• 原来C结点的左子树作为B的右子树
• 原来C结点的右子树作为A的左子树
• C原来的左子树变成上升后的左子树的右子树；原来的右子树变成上升后的右子树的左子树
  

4. RL型

图例：

调整后：

9原来的左子树变成了上升后的左子树的右子树

四、平衡二叉树的实现

1. 平衡二叉树的结构

与二叉树大致相同，多了节点的高度

typedef struct BinNode
{
	int data;
    int height;  //当前节点的高度
	struct BinNode* lchild;
	struct BinNode* rchild;
}BinNode, * BinTree;
//获取当前节点的高度

2. 平衡二叉树的调整

前置函数：

int GetHeight(BinTree tree)          。
{
    if(tree == NULL) 
	{
		return 0;
	}
    return tree->height;
}
//判断是否平衡 
bool IsBalanced(BinTree tree)         
{
    int BF = GetHeight(tree->lchild) - GetHeight(tree->rchild);
    return abs(BF) < 2;
}

int max(int a,int b)
{
	return a > b ? a : b;
}

RR型：

BinTree Rotate_RR(BinTree tree)
{
    BinTree temp = tree->rchild;
    tree->rchild = temp->lchild;
    temp->lchild = tree;
 
    //更新高度,先更新node再更新temp。
    tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;
    temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;
 
    return temp;
}

LL型：

BinTree Rotate_LL(BinTree tree)
{
    BinTree temp = tree->lchild;
    tree->lchild = temp->rchild;
    temp->rchild = tree;
 
    //更新高度,先更新node再更新temp。
    tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;
    temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;
 
    return temp;
}

LR型：

BinTree Rotate_LR(BinTree tree)
{
    BinTree temp = tree->lchild;
    tree->lchild = Rotate_RR(temp);
    return Rotate_LL(tree);
}

RL型：

BinTree Rotate_RL(BinTree tree)
{
    BinTree temp = tree->rchild;
    tree->rchild = Rotate_LL(temp);
    return Rotate_RR(tree);
}

3. 平衡二叉树的插入

BinTree Insert(BinTree T, char X)//将X插入到AVL树中，并且返回调整后的AVL树
{
	if (!T)  //若插入空树，则新建包含一个结点的树
	{
		T = (BinTree)malloc(sizeof(BinNode));
		T->data = X;
		T->height = 0;
		T->lchild = T->rchild = NULL;
	}
	else if (X<T->data)    //插入T的左子树 
	{
		T->lchild = Insert(T->lchild, X);
		if (GetHeight(T->lchild) - GetHeight(T->rchild) == 2)  //如果需要右旋
		{
			if (X<T->lchild->data)
			{
				T = Rotate_LL(T); //右单旋
			}
			else
			{
 				T = Rotate_LR(T);//左右双旋
 			}
		}
	}
	else if (X>T->data)    //插入T的左子树 
	{
		T->rchild = Insert(T->rchild, X);
		if (GetHeight(T->rchild) - GetHeight(T->lchild) == 2)//如果需要左旋
		{
			if (X>T->rchild->Data)
			{
				T = Rotate_RR(T);//左单旋
			}
			else
			{
				T = Rotate_RL(T);//左右双旋
			}
		}
	}
	T->height = max(GetHeight(T->lchild), GetHeight(T->rchild)) + 1;//更新树高
 
	return T;
}