数据结构与算法-平衡二叉树

平衡二叉树（AVL树）

上述二叉排序树和单链表一样，查询速度很慢，完全发挥不出来二叉排序树的优势，速度甚至比单链表还满

由此引出解决方案：平衡二叉树（AVL）

1. 基本介绍

• 平衡二叉树也称平衡二叉搜索树，AVL树，其可以保证查询效率较高

• 其特点是：它是一颗空树或者它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右连哥哥子树都是一颗平衡二叉树

• 平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等

2. 单旋转（左旋转）

对结点A进行左旋转的步骤

• 将A结点的右结点的左结点指向A结点
• 将A结点的右结点，指向A结点的右结点的左结点

{4， 3， 6， 5， 7， 8}

//左旋转方法
private void leftRotate() {
    //创建新的结点，以当前根结点的值
    Node newNode = new Node(value);
    //把新的结点的左子树设置为当前结点的左子树
    newNode.left = left;
    //把新的结点的右子树设置成当前节点的右子树的左子树
    newNode.right = right.left;
    //把当前结点的值替换成右子结点的值
    value = right.value;
    //把当前结点的右子树设置成右子树的右子树
    right = right.right;
    //把当前结点的左子结点设置成新的结点
    left = newNode;
}

//递归添加结点，（满足二叉排序树的要求！）
public void add(Node node) {
    if(node == null) {
        return;
    }
    //判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
    if(node.value < this.value) {
        //若当前结点的左子结点为null
        if(this.left == null) {
            this.left = node;
        }else {
            //递归的向左子树添加
            this.left.add(node);
        }
    }else { //添加的结点的值大于当前结点的值
        if(this.right == null) {
            this.right = node;
        }else {
            //递归的向右子树添加
            this.right.add(node);
        }
    }

    //当添加完一个结点后，若 （右子树高度 - 左子树的高度） > 1，左旋转
    if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
        leftRotate();
    }
}

注意：

3. 单旋转（右旋转）

{10， 12， 8， 9， 7， 6}

//右旋转
public void rightRote() {

   Node newNode = new Node(value);
   newNode.right = right;
   newNode.left = left.right;
   value = left.value;
   left = left.left;
   right = newNode;
}

//当添加完一个结点后，若 （左子树高度 - 右子树的高度） > 1，右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
    rightRotate();
}

4. 双旋转

有时候，单旋转无法解决问题！例如{10， 11， 7， 6， 8， 9}

问题分析

• 当符合右旋转的条件时
• 若其左子树的右子树高度大于其左子树的高度
• 先对当前这个结点的左结点进行左旋转
• 在对当前结点进行右旋转即可

//当添加完一个结点后，若 （右子树高度 - 左子树的高度） > 1，右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
    //若其左子树的右子树高度大于其左子树的高度
    if(left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
        //先对当前结点的左结点进行左旋转
        left.leftRotate();
        //再对当前结点进行右旋转
    }
    rightRotate();
    return ;
}

//当添加完一个结点后，若 （左子树高度 - 右子树的高度） > 1，左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
    //若其右子树的左子树高度大于其右子树的高度
    if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
        //先对当前结点的右结点进行右旋转
        right.rightRotate();
        //再对当前结点进行左旋转
    }
    leftRotate();
    return;
}

5. 所有代码

package cn.imut;

import java.util.zip.DeflaterOutputStream;

public class AVLTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
        //创建一个AVLTree对象
        AVLTree avlTree = new AVLTree();
        //添加结点
        for (int value : arr) {
            avlTree.add(new Node(value));
        }

        //遍历
        System.out.println("中序遍历");
        avlTree.infixOrder();

        System.out.println("在平衡处理之后~~");
        System.out.println("树的高度 = " + avlTree.getRoot().height());          //3
        System.out.println("左子树的高度 = " + avlTree.getRoot().leftHeight());   //2
        System.out.println("右子树的高度 = " + avlTree.getRoot().rightHeight());  //2
        System.out.println("当前的根结点 = " + avlTree.getRoot());                //8
        System.out.println("根结点的左子结点 = " + avlTree.getRoot().left);        //7
    }
}

//创建AVLTree
class AVLTree {
    private Node root;

    public Node getRoot() {
        return root;
    }

    //查找要删除的结点
    public Node search(int value) {
        if(root == null) {
            return null;
        }else {
            return root.search(value);
        }
    }

    //查找父结点
    public Node searchParent(int value) {
        if(root == null) {
            return null;
        }else {
            return root.searchParent(value);
        }
    }

    /**
     * 返回以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
     * 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点
     * @param node 传入的结点（根结点）
     * @return 返回的 以node为结点的二叉排序树的最小结点的值
     */
    public int delRightTreeMin(Node node) {
        Node target = node;
        //循环查找左子结点，就会找到最小值
        while (target.left != null) {
            target = target.left;
        }
        //此时target就指向了最小结点
        //删除这个最小结点
        delNode(target.value);
        return target.value;
    }

    // 删除结点
    public void delNode(int value) {
        if (root != null) {
            // 1.需求先去找到要删除的结点 targetNode
            Node targetNode = search(value);
            // 如果没有找到要删除的结点
            if (targetNode == null) {
                return;
            }
            // 如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
            if (root.left == null && root.right == null) {
                root = null;
                return;
            }

            // 去找到targetNode的父结点
            Node parent = searchParent(value);
            // 如果要删除的结点是叶子结点
            if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
                // 判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
                if (parent.left != null && parent.left.value == value) { // 是左子结点
                    parent.left = null;
                } else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {// 是由子结点
                    parent.right = null;
                }
            } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { // 删除有两颗子树的节点
                targetNode.value = delRightTreeMin(targetNode.right);

            } else { // 删除只有一颗子树的结点
                // 如果要删除的结点有左子结点
                if (targetNode.left != null) {
                    if (parent != null) {
                        // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.left;
                        } else { // targetNode 是 parent 的右子结点
                            parent.right = targetNode.left;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.left;
                    }
                } else { // 如果要删除的结点有右子结点
                    if (parent != null) {
                        // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.right;
                        } else { // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
                            parent.right = targetNode.right;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.right;
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 添加结点的方法
    public void add(Node node) {
        if (root == null) {
            root = node;// 如果root为空则直接让root指向node
        } else {
            root.add(node);
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (root != null) {
            root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
        }
    }
}

//结点
class Node {
    int value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    //返回左子树的高度
    public int leftHeight() {
        if(left == null) {
            return 0;
        }
        return left.height();
    }

    //返回右子树的高度
    public int rightHeight() {
        if(right == null) {
            return 0;
        }
        return right.height();
    }

    //返回当前结点的高度，以该结点为根结点的树的高度
    public int height() {
        //必须加1，结点本身也算一层=
        return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null? 0 : right.height()) + 1;
    }

    //左旋转方法
    private void leftRotate() {
        //创建新的结点，以当前根结点的值
        Node newNode = new Node(value);
        //把新的结点的左子树设置为当前结点的左子树
        newNode.left = left;
        //把新的结点的右子树设置成当前节点的右子树的左子树
        newNode.right = right.left;
        //把当前结点的值替换成右子结点的值
        value = right.value;
        //把当前结点的右子树设置成右子树的右子树
        right = right.right;
        //把当前结点的左子结点设置成新的结点
        left = newNode;
    }

    //右旋转
    public void rightRotate() {

        Node newNode = new Node(value);
        newNode.right = right;
        newNode.left = left.right;
        value = left.value;
        left = left.left;
        right = newNode;
    }
    /**
     * 查找要删除的结点
     * @param value 希望删除结点的值
     * @return 如果找到，返回该结点否则返回null
     */
    public Node search(int value) {
        if(value == this.value) {   //就是此结点，找到
            return this;
        }else if(value < this.value) {  //若要查找的值小于此结点，向左子树递归查找
            //若左子树为空
            if(this.left == null) {
                return null;
            }
            return this.right.search(value);
        } else {    //若要查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
            if(this.right == null) {
                return null;
            }
            return this.right.search(value);
        }
    }

    /**
     * 查找要删除结点的父结点
     * @param value 要删除结点的父结点
     * @return 返回要删除结点的父结点，没有则返回null
     */
    public Node searchParent(int value) {
        //若当前结点就是要删除结点的父结点，则直接返回
        if((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
            return this;
        }else {
            //若要查找的值小于当前结点的值，并且当前结点的左子结点不为空
            if(value < this.value && this.left != null) {
                return this.left.searchParent(value);       //向左子树递归查找
            }else if(value >= this.value && this.right != null) {
                return this.right.searchParent(value);      //向右子树递归查找
            }else {
                return null;
            }
        }
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node{" +
                "value=" + value +
                '}';
    }

    //递归添加结点，（满足二叉排序树的要求！）
    public void add(Node node) {
        if(node == null) {
            return;
        }
        //判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
        if(node.value < this.value) {
            //若当前结点的左子结点为null
            if(this.left == null) {
                this.left = node;
            }else {
                //递归的向左子树添加
                this.left.add(node);
            }
        }else { //添加的结点的值大于当前结点的值
            if(this.right == null) {
                this.right = node;
            }else {
                //递归的向右子树添加
                this.right.add(node);
            }
        }

        //当添加完一个结点后，若 （右子树高度 - 左子树的高度） > 1，右旋转
        if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
            //若其左子树的右子树高度大于其左子树的高度
            if(left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
                //先对当前结点的左结点进行左旋转
                left.leftRotate();
                //再对当前结点进行右旋转
            }
            rightRotate();
            return ;
        }

        //当添加完一个结点后，若 （左子树高度 - 右子树的高度） > 1，左旋转
        if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
            //若其右子树的左子树高度大于其右子树的高度
            if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
                //先对当前结点的右结点进行右旋转
                right.rightRotate();
                //再对当前结点进行左旋转
            }
            leftRotate();
            return;
        }
    }

    //中序遍历
    public void infixOrder() {
        if(this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        System.out.println(this);
        if(this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }
}