数据结构--平衡二叉树的演示

平衡二叉树的定义

在学习平衡二叉树之前，需要先了解什么是平衡二叉树，平衡二叉树有哪些特点？平衡二叉树或者是棵空树，或者具有下列性质的二叉查找树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1，平衡因子的值只可能为-1,0,1。平衡二叉树中最需要注意的就是平衡问题，只要有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，那么这棵树就失去了平衡，在插入，删除操作中都可能会出现失衡情况，此时则需要重新调整平衡。

平衡二叉树的存储结构类型：

typedef struct BBSTNode {
	int data;
	int bf;  //结点平衡因子
	struct BBSTNode *lchild, *rchild;
}*BBSTree;

插入

设置高度变化标志taller，taller为TREU时表示被插入结点的子树高度增加，此时需要考虑平衡调整，为FALSE表示高度没有变化。
依次插入结点，有以下几种情况：

（1）平衡二叉树为空树，则插入结点直接作为根结点，树的高度增加taller=TRUE；
（2）待插入结点与平衡二叉树中存在的结点相等，不用插入，taller=FALSE；
（3）若待插入结点小于根结点，且平衡二叉树中不存在与根结点相等的值，在左子树中插入，若插入后左子树的高度增加1。（左子树高度不变则不需要调整平衡）
根据情况判断是否需要平衡调整：
① 原根结点的平衡因子为-1（左高右低），更改为0，树的高度不变。
② 原根结点的平衡因子为0（左右相等），更改为1，树的高度增加1。
③ 原根结点的平衡因子为1（左高右低）：若左子树根结点平衡因子为1，则是LL型失衡，平衡调整修改平衡因子。若左子树根结点平衡因子为-1，则为LR型，平衡调整后修改平衡因子。

假设p是最小失衡树，s是插入的结点

LL型

LR型

（4）若待插入结点大于根结点，且平衡二叉树中不存在与根结点相等的值，在右子树中插入，若插入后右子树高度加一。（右子树高度不变则不需要调整平衡）
① 原根结点的平衡因子为1（左高右低），更改为0，树的高度不变。
② 原根结点的平衡因子为0（左右相等），更改为-1，树的高度增加1。
③ 原根结点的平衡因子为-1（左低右高）：若右子树根结点平衡因子为1，RL型失衡，平衡调整后修改平衡因子。若右子树根结点平衡因子为-1，RR型失衡，平衡调整后修改平衡因子。
RR型

RL型
、
代码如下：

Status InsertAVL(BBSTree &T, RcdType e, Status &taller) {
	if (NULL == T) {		//二叉树为空，插入新节点作为根结点
		T = (BBSTree)malloc(sizeof(BBSTNode));
		T->data = e;
		T->bf = EH;
		T->lchild = NULL;
		T->rchild = NULL;
		taller = TRUE;
	}
	else if (e.key == T->data.key) {		//树中已存在和e相等的结点
		taller = FALSE;
		return FALSE;				//未插入，返回FALSE
	}
	else if (e.key < T->data.key) {	//e小于根结点，插入到左子树中
		if (FALSE == InsertAVL(T->lchild, e, taller))	return FALSE;	//递归插入，找到NULL=T的子树插入，若有相等的值返回FALSE
		if (TRUE == taller) {
			switch (T->bf) {			//检查T的平衡因子
			case LH:
				LeftBalance(T);
				taller = FALSE; 
				break;//原左高，做左平衡处理
			case EH:
				T->bf = LH; 
				taller = TRUE; 
				break; //原等高，变成左高
			case RH:
				T->bf = EH;
				taller = FALSE;   //原右高，变成等高
				break;
			}
		}
	}
	else {			//插到右子树中         
		if (FALSE == InsertAVL(T->rchild, e, taller)) return FALSE; //递归插入到右子树，若右子树中有相等的值，返回FALSE
		if (TRUE == taller) { //确认插入
			switch (T->bf) {
			case LH:T->bf = EH; taller = FALSE; break;     //原本左高，插入后变成等高
			case EH:T->bf = RH; taller = TRUE; break;   //原本等高，插入后变成右高
			case RH:RightBalance(T); taller = FALSE; break; //原本右高，插入新节点后失衡，右平衡处理操作，树没有变高
			}
		}
	}
	return TRUE;
}

删除

假设删除的结点为p结点，在进行删除操作之前需要进行查找操作，在平衡二叉树中查找p结点：
（1）p结点小于当前根结点，在根结点的左子树中递归查找p结点。
（2）p结点等于当前根结点，进行删除操作。
（3）p结点大于当前根结点，在根结点的右子树中递归查找p结点。
在平衡二叉树中删除一个结点，有以下三种情况：
（1）p结点是根结点
当p是根结点，也就是没有左右孩子，此时我们删除结点只需要把p直接删除。

（2）p结点只有一棵子树
p结点只有左孩子（右孩子）s时，把左孩子（右孩子）s的数据复制给p结点，然后把s结点删除。

（3）p结点有两棵子树
p结点既有左孩子又有右孩子时，有两种方法：
a.让p结点左孩子中最大的结点s复制给p结点，然后删除s结点，此时，如果s结点有左孩子，则把左孩子移到s结点的双亲结点上。
b.让p结点右孩子中最小的结点s复制给p结点，然后删除s结点，此时，如果s结点有右孩子，则把右孩子移到s结点的双亲结点上。
一般情况下，在高度较大的子树中实行删除操作，即若左子树比右子树高，执行a方法，若右子树比左子树高，执行b方法。

同样的，平衡二叉树删除一个结点后，也可能会失去平衡。在左子树中删除一个结点相当于在右子树中插入一个结点，这个时候需要利用结点的平衡因子重新调整平衡。
代码如下：

Status Delete(BBSTree &p, int &e, int &flag) {
	BBSTree q, s;
	if (!p->rchild) { //p结点的右子树为空
		q = p;
		if (p->lchild) {  //情况3，p结点的左子树不为空，用左子树最大的结点代替p结点的位置
			p->lchild->bf = p->bf;
			e = p->lchild->data.key;
		}
		p = p->lchild; //把左子树结点的值复制给p结点，若是左子树为空，则是情况1
		free(q);     //删除p结点内存
		flag = 1;
	}
	else if (!p->lchild) { //情况2，p结点左子树为空，右子树不为空的情况
		q = p;
		p->rchild->bf = p->bf;
		e = p->rchild->data.key;
		p = p->rchild;
		free(q);
		flag = 1;
	}
	else {    //情况4，有左右子树的情况
		q = p;
		s = p->lchild;
		while (s->rchild) { //若p的左子树s有右子树
			q = s;          //q则是最大结点的双亲   
			s = s->rchild; //使s成为左子树内最大的结点，只能是叶子结点或者一个没有右孩子的结点
		}
		p->data.key = s->data.key; //把最大结点的数值复制给p结点
		if (q != p) {  //若p的左子树有右子树，找到右子树的最大值和p结点交换  s->rchild ！= NULL 的情况
			q->rchild = s->lchild;
		}
		else {		//若p的左子树没有右子树时  s->lchild==NULL
			q->lchild = s->lchild;  //若p的左子树没有右子树，p==q
			p->bf = RH;
		}
		e = p->data.key;
		free(s);
	}
	return TRUE;
}

查找

平衡二叉树的查找也是利用递归算法实现，因为平衡二叉树是特殊的二叉查找树，当查找值e小于当前根节点时，在左子树中递归查找。当查找值e大于当前根结点时，在右子树中递归查找。
代码如下：

Status SearchAVLNode(BBSTree T, KeyType key) {
	if (!T) return ERROR;
	if (T->data.key == key) {
		printf("查询结果：%d，平衡因子：%d\n", T->data.key, T->bf);
		return OK;
	}
	else {
		if (T->lchild)      //在左子树中查找
			if (SearchAVLNode(T->lchild, key)) //递归
				return OK;
		if (T->rchild)		//在右子树中查找
			if (SearchAVLNode(T->rchild, key)) //递归
				return OK;
		return ERROR;
	}
}

分裂

利用递归算法，需要先输入关键字key，在平衡二叉树中，结点数据比key小的值依次插入到T1，结点数据比key大的值依次插入到T2。也就是说分裂出来的两棵子树，一棵比key大，一棵比key小。

代码如下：

Status Split(BBSTree T, KeyType e, BBSTree &T1, BBSTree &T2) {
	Status taller = 0;
	if (!T) return TRUE;
	Split(T->lchild, e, T1, T2);
	if (T->data.key > e) {
		InsertAVL(T2, T->data, taller);
	}else {
		InsertAVL(T1, T->data, taller);
	}
	Split(T->rchild, e, T1, T2);
	return TRUE;
}

合并

平衡二叉树的合并操作也是利用递归算法实现，假如需要合并T1,T2，在T1中递归插入T2的结点，就能实现合并操作,其核心算法还是插入操作。

代码如下：

Status MergeAVL(BBSTree &T1, BBSTree &T2) {
	Status taller;
	if (!T2) return TRUE;
	if (T2->lchild) MergeAVL(T1, T2->lchild);    //T2左子树结点插入T1中
	if (T2->rchild) MergeAVL(T1, T2->rchild);    //T2右子树结点插入T2中
	if (!InsertAVL(T1, T2->data, taller)) return FALSE;
	return TRUE;
}