海明码之编码原理和校验方法

海明码简介

　　海明码，小名汉明码（Hamming Code），以发明者理查德·卫斯里·汉明的名字命名。海明码具有检错和纠错双功能，它基于奇偶校验原理，只能检查出某一位错码的位置。当有多位错码时，它就不适用了。

异或运算

　　在了解汉明码之前，先熟悉下异或运算和奇偶校验。
异或运算，相异为1，相同为0。它也叫模2和、模2加法，本质上是不带进位的加法。
数学符号是 ⊕；
计算机符号是“xor”；
C语言中异或符号是^；
常用的公式是：（a^b）^a=b，即两个数异或结果在与其中一个数异或得到的是另一个数。
常用的应用：多用在一些加密算法中，将要加密的数据和一些已知数进行异或运算，得到加密后的数据。
奇偶校验 ：

海明码的校验位数

　　下面本例以1010110为例进行海明码编码。
　　第一步先确定需要多少位校验码。
　　设数据有n位，校验码有x位。则校验码一共有$2^x$种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确，剩下$2^x-1$种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有n+x位，因此x应该满足：$2^x-1 ≥n+x$　　　
使不等式成立的x的最小值就是校验码的位数。在本例中，n=7，解得x=4。
信息码和校验码的对应关系如下表：

校验码的位置

　　校验码在二进制串中的位置为2的整数幂，即１、2、4、8、16……..剩下的位置是信息码，如图（来源百度），绿色为校验位：
　　
本例的校验码位置如下图：

计算校验位的值

由于奇偶校验原理一样，偶校验的计算更为简单，实际中多用偶校验，本例中也以偶校验进行计算。

如图中：
第一行中每个X跳过1位；第一行所有的X值进行异或是0；第一行的X对应的数据位位置转化为二进制最后一位都是1，即是xxx1这种形式；
第二行中每2个X跳过2位；第二行所有的X值进行异或是0；第二行的X对应的数据位位置转化为二进制倒数第二位一位都是，即是xx1x这种形式；
第三行中每4个X跳过4位；第三行所有的X值进行异或是0；第三行的X对应的数据位位置转化为二进制倒数第三位一位都是1，即是x1xx这种形式；
第四行中每8个X跳过8位；第四行所有的X值进行异或是0；第四行的X对应的数据位位置转化为二进制倒数第四位一位都是1，即是1xxx这种形式；
……..
每一行都是从对应的校验位开始校验，即从第$2^n/2$位开始校验，校验$2^n/2$个，然后跳过$2^n/2$个。
下面计算本例子，将表格中的位置用二进制表示：

x1的计算：
x1是第一个校验码，位置对应栏所有最后一位为1（xxx1格式）的相异或为0，即

$$x1⊕1⊕0⊕0⊕1⊕0=0$$ 则x1=0;
x2计算：
x2是第二个校验码，位置对应栏所有倒数第二位为1（xx1x格式）的相异或为0，即

$$x2⊕1⊕1⊕0⊕1⊕0=0$$ 则x2=1;
x3计算：
x3是第三个校验码，位置对应栏所有倒数第三位为1（x1xx格式）的相异或为0，即

$$x3⊕0⊕1⊕0=0$$ 则x3=1;
x4计算：
x4是第四个校验码，位置对应栏所有倒数第四位为1（1xxx格式）的相异或为0，即

$$x4⊕1⊕1⊕0=0$$ 则x4=0;
所以最终的海明码是01110100110。

海明码的校验

假设位置为1011的数据传输错误，由0变成了1，则校验纠错的过程为：
　　将所有位置形如xxx1, xx1x, x1xx, 1xxx的数据分别异或。
　　xxx1: 0^1^0^0^1^1 = 1
　　xx1x: 1^1^1^0^1^1 = 1
　　x1x: 1^0^1^0 = 0
　　1xxx: 0^1^1^1 = 1
　那么出错数据的位置为1011，这样便可得到出错的位置。

假设同时有两个位置出错，本例中假设位置为1010对应数据由1变成0,，位置为1011对应数据由0变成1，则推出校验纠错过程：
　　xxx1: 0^1^0^0^1^1 = 1
　　xx1x: 1^1^1^0^0^1 = 0
　　x1x: 1^0^1^0 = 0
　　1xxx: 0^1^0^1 = 0
那么校算出的错误位是0001，即第一位；但实际上是倒数第二位和最后一位都有错误，说明海明码不能校验两位以上出错的数据，即海明码只能检测并纠正一位错误。