在数学中，连续时间随机游走（Continuous-time random walk, CTRW）是随机游走的推广，其中游荡粒子在跳跃之间等待随机时间。 这是一个随机跳跃过程，跳跃长度和等待时间分布任意。更一般地说，它可以看作是马尔可夫更新过程（Markov renewal process）的一个特例。
CTRW 由 Montroll 和 Weiss 引入，作为物理扩散过程的推广，以有效描述异常扩散（anomalous diffusion），即超扩散和亚扩散情况（super- and sub-diffusive cases）。 CTRW 的等效公式由广义主方程给出。已经建立了 CTRW 和具有分数时间导数的扩散方程之间的联系。类似地，时空分数扩散方程可以被认为是具有连续分布跳跃的 CTRW 或格上 CTRW 的连续近似。
1. 表达式
考虑由下式定义的随机过程 X ( t ) X(t) X(t)：
X ( t ) = X 0 + ∑ i = 1 N ( t ) Δ X i X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i} X(t)=X0+i=1∑N(t)ΔXi
其增量 Δ X i \Delta X_{i} ΔXi 是 iid（Independent and identically distributed random variables） 随机变量，取值域为 Ω \Omega Ω， N ( t ) N(t) N(t) 是区间 ( 0 , t ) (0,t) (0,t) 内的跳跃次数。在时间 t t t 取值 X X X 的过程的概率由下式给出
P ( X , t ) = ∑ n = 0 ∞ P ( n , t ) P n ( X ) P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_{n}(X) P(X,t)=n=0∑∞P(n,t)Pn(X)
这里 P n ( X ) P_{n}(X) Pn(X) 是过程在 n n n 次跳跃后取值 X X X 的概率，并且 P ( n , t ) P(n,t) P(n,t) 是在时间 t t t 之后 n n n 次跳跃的概率。
2. Montroll-Weiss 公式
我们用 τ \tau τ 表示 N ( t ) N(t) N(t) 的两次跳跃之间的等待时间，用 ψ ( τ ) \psi (\tau) ψ(τ) 表示它的分布。 ψ ( τ ) \psi (\tau) ψ(τ) 的拉普拉斯变换定义为：
ψ ~ ( s ) = ∫ 0 ∞ d τ e − τ s ψ ( τ ) {\tilde {\psi }}(s)=\int _{0}^{\infty }\mathrm{d}\tau \,e^{-\tau s}\psi (\tau ) ψ~(s)=∫0∞dτe−τsψ(τ)
类似地，跳跃分布 f ( Δ X ) f(\Delta X) f(ΔX) 的特征函数由其傅里叶变换给出：
f ^ ( k ) = ∫ Ω d ( Δ X ) e i k Δ X f ( Δ X ) {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }\mathrm{d}(\Delta X)\,e^{ik\Delta X}f(\Delta X) f^(k)=∫Ωd(ΔX)eikΔXf(ΔX)
可以证明概率 P ( X , t ) P(X,t) P(X,t) 的拉普拉斯-傅里叶变换由下式给出：
P ~ ^ ( k , s ) = 1 − ψ ~ ( s ) s 1 1 − ψ ~ ( s ) f ^ ( k ) {\hat {\tilde {P}}}(k,s)={\frac {1-{\tilde {\psi }}(s)}{s}}{\frac {1}{1 -{\tilde {\psi }}(s){\hat {f}}(k)}} P~^(k,s)=s1−ψ~(s)1−ψ~(s)f^(k)1
上式称为 Montroll-Weiss 公式。
- 参考文献