矩阵 AB 和 BA 相似

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同阶矩阵 A 和 B 相似的充要条件：特征多项式相同，即
$|\lambda I - A| = |\lambda I - B|$

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引理：假设 $A \in \R^{m \times n}$， $B \in \R^{n \times m}$
$\left[\begin{matrix} AB & 0 \\ B & 0 \end{matrix} \right]_{(m+n)\times(m+n)} \sim \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ B & BA \end{matrix} \right]_{(m+n)\times(m+n)}$
证明：
$\left[\begin{matrix} I_m & -A \\ & I_n \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} AB & 0 \\ B & 0 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} I_m & A \\ & I_n \end{matrix} \right]= \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ B & BA \end{matrix} \right]$

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由引理和相似的充要条件可得：
$\left|\begin{matrix} \lambda I_m-AB & 0 \\ B & \lambda I_n \end{matrix} \right|= \left|\begin{matrix} \lambda I_m & 0 \\ B & \lambda I_n -BA \end{matrix} \right|$因此有
$|\lambda I_m-AB|\lambda^n = \lambda^m |\lambda I_n -BA|$
特别的，如果 $m = n$, 即可推出 AB 相似于 BA，因为
$|\lambda I-AB| = |\lambda I -BA|.$

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由此可以得到一些有趣的结论，比如 $\forall x,y \in \R^{n \times 1}$， $xy^T$ 可以对角化。
因为
$xy^T = \left[\begin{matrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]_{n\times 1} \left[\begin{matrix} y_1 & \cdots & y_n \end{matrix} \right]_{1\times n}= \left[\begin{matrix} x_1 & 0 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots && \vdots \\ x_n & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right]_{n\times n} \left[\begin{matrix} y_1 & \cdots & y_n\\ 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right]_{n\times n}$
将扩充的矩阵记为 X 和 Y，则有 $XY\sim YX$, 即
$xy^T = XY \sim YX = \left[\begin{matrix} y_1 & \cdots & y_n\\ 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right]_{n\times n} \left[\begin{matrix} x_1 & 0 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots && \vdots \\ x_n & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right]_{n\times n}\\= \left[\begin{matrix} y^Tx &0&\cdots &0\\ 0 & 0&\cdots & 0\\ \vdots & \vdots& & \vdots\\ 0 & 0 &\cdots & 0 \end{matrix} \right]_{n\times n}$
可见 $xy^T$ 相似于对角阵。