浅谈Matrix-Tree定理

首先介绍一下Matrix-Tree定理是干什莫用的：

Matrix-Tree定理用于图的生成树计数。复杂度为 $ O(n^3) $。

在学习Matrix-Tree定理之前，我们需要先了解离散拉普拉斯算子。

一.离散拉普拉斯算子

给定了一个图，我们先求出它的度数矩阵D和邻接矩阵A：

度数矩阵：D[x][x]表示点x的度数，其他元素为0.
邻接矩阵：A[i][j]代表i到j是否有边，有边则为1，无边则为0.

由此计算出基尔霍夫矩阵C:C=D-A

例子：三个点的完全图：

它的D矩阵（度数矩阵）是：

2 0 0

0 2 0

0 0 2

它的A矩阵（邻接矩阵）是：

0 1 1

1 0 1

1 1 0

它的C矩阵（基尔霍夫矩阵）是：

2 -1 -1

-1 2 -1

-1 -1 2

我们把计算出基尔霍夫矩阵的运算称作离散拉普拉斯算子。

二.Matrix-Tree定理

Matrix-Tree定理的内容是：

对于一个基尔霍夫矩阵，随意去掉第r行第r列,留下的这个矩阵的行列式的绝对值，就是生成树的个数。

一般这样操作：对于一个基尔霍夫矩阵，扔掉最后一行和最后一列，算出它的行列式值即可。

还是看上面的例子。扔掉最后一行和最后一列，C矩阵变成：

2 -1

-1 2

它的行列式值为2*2-(-1)*(-1)=3.2×2−(−1)×(−1)=3.
所以这个图共有3个生成树。

若想知道证明，请参考这里

三.行列式求值

如何求行列式的值？

我们只需要像高斯消元那样，把行列式弄成上三角矩阵，然后算出c[1][1]*c[2][2]*......*c[n][n],它就是行列式的值。

一个3*3的例子：

行列式：

2 -1 -1

-1 2 -1

-1 -1 2

第一次消元后：

2 -1 -1

0 3 -3

0 -3 3

第二次消元后：

2 -1 -1

0 3 -3

0 0 0

然后算出2*3*0=0，它就是行列式的值

附上代码：

void getValue()
{
    int a,i,j;
    double v;

    for(a=1;a<n;a++)
        for(i=a+1;i<=n;i++)
        {
            v=C[i][a]/C[a][a];
            for(j=a;j<=n;j++)
                C[i][j]-=v*C[a][j];
        }

    v=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
        v*=C[i][i];
    if(v<0) v=-v;

    printf("%.0f",v);
}

一些值得考虑的问题

如何保证消元的精度？

采用列主元法消元。
假设我们现在考虑元p，我们就把p的系数绝对值最大的那一行，拿来消其他的行

如果消元时遇到所有列都为0怎么办？

正常情况下，不会遇到这种事情。
如果遇到了，说明整个图根本不连通，那生成树的个数显然是0了。0