正题

不能再半途而废了。

让我们现在开始讲一下Maxtirx-Tree定理。

其实这个定理是用来解决关于“用图建树的方案树”之类的问题的。

首先我们要了解几个定理及其证明。

1.我们定义一个n*n的矩阵A，它的行列式为

$\sum_p (-1)^{laowang(p)}*(A[1][p_1]*A[2][p_2]*...*A[n][p_n])$

p是1到n的一个排列，laowang(p)指的是其中的逆序对个数。其实就是排列一个p使得后面行列不相交

2.那我们根据定义式，就可以知道，任意交换两行i，j，行列式就会乘上-1.

因为交换i，j两行的时候，其他的行都是不变的，我们把这单独两行提出来，就会发现逆序对的改变都会恰好 $\pm 1$ 。所以我们就知道，行列式会变为原来的相反数。

3.接着，我们还要推导一个东西，当有两行一样时，行列式为0.

比如说这两行是i，j，首先不讨论这两行，也就是说把这两行先提出来，我们就会发现，当 $P_i<P_j$ 时，我们可以知道，行列式的符号是不用改变的，因为不存在逆序对，也就是说行列式是 $\pm A[i][P_i]*A[j][P_j]$ ，而当 $P_i>P_j$ 的时候，行列式的符号改变了，所以行列式是 $\mp A[i][P_i]*A[j][P_j]$ ，又因为i,j两行完全相同，所以说，加/减的东西也相同。

4.下一个，当一行的数全部乘上了一个k，行列式也乘上k。

显然的，你直接把中间某一项乘k，再把k提出来即可。

5.当某一行是另一行的k倍，行列式为0.（k!=0）

比如说我们当前的行列式是det，把一行乘k，行列式为k*det，又因为现在两行都相同，所以k*det=0，又因为k！=0 ，所以det必为0.

6.当某一行加上另一行的k倍时，行列式不变。

因为行列式具有简单的"分配律"，你给第i行都加上第j行的k倍（逐位加），就相当于，把整个矩阵的复制一遍，把其中第i行挖空，再填入第j行的k，然后把两个矩阵的行列式相加，这样很明显是可以成立的，因为相当于你把第i行拆开来罢了。

我们就可以用第6条定理完成 $O(n^{3})$ 求解行列式。

怎么求呢。。。

首先我们要有一个构造的n*n的矩阵。

像上面这个图，空出的位置都是0，现在我们如何利用第6条定理，把他转化为下图呢？

X表示有数，0表示这个数字为0，很多人想问为什么要化成这个样子，因为这时，行列式就是对角线的乘积。因为除了这个取法，其他都是0，因为一定会包括一个因子0.

所以我们试着去构造这样一个矩阵

for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int i=j+1;i<=n;i++)
            while(d[i][j]){
                long long temp=d[j][j]/d[i][j];
                for(int k=j;k<=n;k++)
                    d[j][k]=(d[j][k]-d[i][k]*temp%Mod+Mod)%Mod,swap(d[j][k],d[i][k]);
                ans*=-1;
            }
        ans*=d[j][j];
        ans%=Mod; 
    }

我们试着辗转相除来解决这个问题，因为一行可以加上或减去另一行的k倍，所以我们联想到了辗转相除。我们不断地拿第j行第j列中的元素出来，让它与下面的元素比较，直到把他下面的全部变为0。那我们一个一个操作，对于d[j][j]和d[i][j]（i>=j+1）

我们不断将两行辗转相除，并且交换，交换的代价就是-1；

最后我们把对角线乘起来就是答案。

拓展

我们光知道这个还不行，我们还需要知道这个东西可以解决什么问题。

无向图

1.n个点m条边的一张没有重边，没有子环的图，保证联通，求生成树个数。

我们构造一个n*n的矩阵A，对于A[i][j]来说，当 i==j 时，A[i][j]存的是i点的度数（无向图）。当i != j 时，存的是i，j之间是否有边，有边为-1，没边就是0.

然后我们把任意的第i行和第i列挖掉，把剩下的向左上对齐，求剩下矩阵的行列式即可。（我太菜了，不知道证明）。

有向图

2.求外向树，把d[i][i]改成一个点的入度即可。

3.求内向树，把d[i][i]改成一个点的出度即可。

当然要像无向图那样存边和求行列式。

呼啊，说完了

Matrix-Tree定理及其拓展

正题

拓展

无向图

有向图

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