【BZOJ4766】文艺计算姬（prufer序，Matrix-Tree定理）

Description

“奋战三星期，造台计算机”。小W响应号召，花了三星期造了台文艺计算姬。文艺计算姬比普通计算机有更多的艺术细胞。普通计算机能计算一个带标号完全图的生成树个数，而文艺计算姬能计算一个带标号完全二分图的生成树个数。更具体地，给定一个一边点数为n，另一边点数为m，共有n*m条边的带标号完全二分图K_{n,m}，计算姬能快速算出其生成树个数。小W不知道计算姬算的对不对，你能帮助他吗？

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Solution

关于这题的Matrix-Tree证明看这里：https://blog.sengxian.com/solutions/bzoj-4766

从prufer序的角度考虑：每将一个集合中的点插入prufer序中时，删除的一定是另一个集合中的点，由于最后只剩下不同集合中的两个点，所以prufer一定有$(n+m-2)$个数，两个集合各占$n-1$，$m-1$个数，答案为$n^{m-1}m^{n-1}$。

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Code

/************************************************
 * Au: Hany01
 * Date: May 31st, 2018
 * Prob: [BZOJ4766] 文艺计算姬
 * Email: [email protected]
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
    register int _, __; register char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

LL p;

inline LL mult(LL a, LL b)
{
    LL Ans = 0;
    for ( ; b; b >>= 1, a = (a + a) % p) if (b & 1) (Ans += a) %= p;
    return Ans;
}

inline LL Pow(LL a, LL b)
{
    LL Ans = 1;
    for ( ; b; b >>= 1, a = mult(a, a)) if (b & 1) Ans = mult(Ans, a);
    return Ans;
}

int main()
{
#ifdef hany01
    File("bzoj4766");
#endif

    LL n, m;

    scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p);
    printf("%lld\n", mult(Pow(n, m - 1), Pow(m, n - 1)));

    return 0;
}
//秋来相顾尚飘蓬，未就丹砂愧葛洪。
//    -- 杜甫《赠李白》