Matrix-Tree （生成树计数）

生成数计数

对于一个无向简单图， $n$个点和 $n-1$条边构成一个生成树，生成树计数就是求这个无向图中一共有几种不同的生成树(任意两边不同)

• 度矩阵
  $n × n$ 的矩阵，统计每个点的度数，只有 $i= j$时矩阵才有正值，其余为零。
• 邻接矩阵
  $n × n$ 的矩阵，如果 $（u，v）$存在边，对应矩阵 $g[u][v] = g[v][u] = 1$，其余为零。
• 拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵(Kirchhoff)或离散拉普拉斯算子，主要应用在图论中，作为一个图的矩阵表示。
  度矩阵 - 邻接矩阵

生成树的个数就是Kirchhoff矩阵 $n-1$阶行列式的值
行列式模板

对于有重边的情况，拉普拉斯矩阵矩阵也能用.

例题

• ACcode
• UVA 10766
  题意：公司的一些部门不能存在直接的隶属关系，问一共有多少分配部门关系的方案
  生成树计数的裸题，把不能直接隶属的标记一下，求出矩阵就行
• SPOJ DETER3
  裸题
• URAL 1627
  题意：让所有相邻的卧室连成一个生成树，枚举每个点的四个方向求出矩阵
• HDU 4305
  题意：给出 $n$个点，两点之间距离不超过一定距离的点可以相互传染，但是中间不能有其他的点。
  暴力枚举所有点如果符合第一个条件，再暴力判断两点之间是不是有第三个点。
  需要判断点在不在线段上，首先叉积看3点是否共线，然后判断点是不是在两点确定的矩形内部
• HDU 4408
  题意：带权生成树，求一共有几个最小生成树。
  Kruskal思想，从最小的点开始合并，权值相同的边不会影响的下一个权值的合并。我们只需求所有权值情况下的生成数个数，然后相乘。
  中间用到缩点存在重边，不过不影响矩阵的性质
• SPOJ HIGH
  裸题