洛谷P3317 [SDOI2014]重建 [Matrix-Tree定理]

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思路

相信很多人像我一样想直接搞Matrix-Tree定理，而且还过了样例，然后交上去一分没有。

但不管怎样这还是对我们的思路有一定启发的。

用Matrix-Tree定理搞，求出的答案是
\[ t=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} W_e \]
其中\(W_e\)表示我们给\(e\)赋的权值，现在还不知道是啥。

然而，我们要的答案却是这样的：
\[ ans=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} w_e \prod_{e\notin E} (1-w_e) \]
其中\(w_e\)表示边\(e\)存在的概率。

注意到区别了吗？现在就要尝试去除区别。

考虑这样一个式子：
\[ \begin{align*} ans&=t\times \prod_{e} (1-w_e)\\ &=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} W_e \prod_{e} (1-w_e)\\ &=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} W_e(1-w_e) \prod_{e\notin E} (1-w_e)\\ \end{align*} \]
是不是超棒？

于是有了一个方程：\(W_e(1-w_e)=w_e\)，得到\(W_e=\frac{w_e}{1-w_e}\)，Matrix-Tree定理往上套即可。

还要注意一个问题：\(1-w_e<eps\)时会有除零的情况发生，此时要强行设\(w_e=1-eps\)以避免。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 60
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
        if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
        while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
        while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//  inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

const db eps=1e-9;

int n;
db a[sz][sz];

db A[sz][sz];
void add(int x,int y,db w){A[x][x]+=w;A[y][y]+=w;A[x][y]-=w;A[y][x]-=w;}
db calc(int n)
{
    db ans=1;
    rep(i,1,n)
    {
        if (!A[i][i])
        {
            int tmp=-1;
            rep(j,i+1,n) if (fabs(A[j][i])>eps) tmp=j;
            if (tmp==-1) return 0;
            swap(A[i],A[tmp]);
        }
        db I=1.0/A[i][i];
        rep(j,i+1,n) if (A[j][i])
        {
            db t=I*A[j][i];
            rep(k,i,n) A[j][k]-=A[i][k]*t;
        }
        ans=ans*A[i][i];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    file();
    read(n);
    db ans=1;
    rep(i,1,n) rep(j,1,n)
    {
        read(a[i][j]);
        if (a[i][j]>1-eps) a[i][j]=1-eps;
        ans*=(1-a[i][j]),a[i][j]/=(1-a[i][j]);
    }
    ans=sqrt(ans);
    rep(i,1,n) rep(j,1,i-1) add(i,j,a[i][j]);
    ans*=calc(n-1);
    cout<<ans;
    return 0;
}