洛谷P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡 [Matrix-Tree定理，容斥]

传送门

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思路

首先看到生成树计数，想到Matrix-Tree定理。

然而，这题显然是不能Matrix-Tree定理硬上的，因为还有每个公司只能建一条路的限制。这个限制比较恶心，尝试去除它。

怎么除掉它呢？

容斥！

每当有恶心的限制时，用容斥去除它，也许这是套路？

枚举有哪几所公司承保了所有道路的修建，然后大力Matrix-Tree定理即可。

复杂度\(O(n^32^n)\)有点大，但还是可以过的。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 20
    #define mod 1000000007ll
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
        if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
        while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
        while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//  inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n;
vector<pii>e[sz];

ll A[sz][sz];
void clear(){memset(A,0,sizeof(A));}
void add(int u,int v){++A[u][u];++A[v][v];--A[u][v];--A[v][u];}

ll calc(int n)
{
    ll ans=1;
    rep(i,1,n)
    {
        if (!A[i][i])
        {
            int tmp=-1;
            rep(j,i+1,n) if (A[j][i]) tmp=j;
            if (tmp==-1) return 0;
            swap(A[i],A[tmp]);
        }
        ll I=inv(A[i][i]);
        rep(j,i+1,n) if (A[j][i])
        {
            ll t=I*A[j][i]%mod;
            rep(k,i,n) A[j][k]=(A[j][k]-A[i][k]*t%mod+mod)%mod;
        }
        ans=ans*A[i][i]%mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    file();
    read(n);
    int x,y,z;
    rep(i,1,n-1)
    {
        read(z);
        while (z--) read(x,y),e[i].push_back(MP(x,y));
    }
    ll ans=0;
    rep(id,0,(1<<(n-1))-1)
    {
        rep(i,1,n-1) if (id&(1<<(i-1))) for (auto p:e[i]) add(p.fir,p.sec);
        ll cur=calc(n-1);
        ans+=(((n-1-__builtin_popcount(id))&1)?-1:1)*cur;
        ans=(ans%mod+mod)%mod;
        clear();
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}