一、完全图、偶图与补图

完全图：每两个顶点间都有一条边的简单图

偶图：也叫二分图，二部图。具有二分类(X,Y)的偶图，它的点集可以分解为两个非空子集X和Y，使得每一条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中，记为G=(X, Y)。

补图：对于图G=(V, E)，令集合 $E_1=\{uv|u≠v, u,v∈V\}$ ，则 $H=(V, E_1-E)$ 为G的补图。记为 $H=\overline{G}$ 。H+G即为完全图。

1、 $k_1$ 补图为自身； $k_2$ 补图为两个点
2、完全图的补图都是全顶点，即为空图
3、边关系满足 $m(G)+m(\overline{G}) = C_n^2 =\frac{n(n-1)}{2}$
4、若G与其补图同构，则称G为自补图
5、证明：若n阶图是自补图，则顶点数满足 $n=0,1(mod 4)$
若G为自补图，顶点数为n，则 $m(G)+m(\overline{G}) = \frac{n(n-1)}{2}$ 所以： $m(G) = \frac{n(n-1)}{4}$ 。故m(G)能被4整除，因此n为4的倍数或者(n-1)的倍数，故 $n (mod 4)=0 or 1$

二、顶点的度和图的度序列,频序列

定义：G的顶点v的度数记为d(v)，指G中与v关联的边的数目，每个环计两次。分别用 $\delta (G)$ 和 $\Delta (G)$ 表示G的最小度和最大度。奇数度的顶点称为奇点，反之为偶点。设G=(V,E)，若所有点顶点度数均为k，则G称为k-正则图。

性质：

1、对于完全图 $k_1$ ，d(v)=0
2、欧拉定理（握手定理）：图的顶点度数和为边数m的两倍，即 $\sum_{v∈V(G)} d(v)=2m$
3、证明：在任何图中，奇点个数为偶数。
设 $V_1, V_2$ 分别为G中奇点集和偶点集，则由握手定理可得：
$\sum_{v∈V_1}d(v)+\sum_{v∈V_2}d(v)=\sum_{v∈V}d(v)=2m$
由于 $\sum_{v∈V}d(v)=2m$ 是偶数， $\sum_{v∈V_2}d(v)$ 是偶数，
故 $\sum_{v∈V_1}d(v)$ 只能是偶数，故而奇点数为偶数。
4、正则图的阶数和度数不同时为奇数（如果都是奇数了，奇数相乘还是奇数，就违背了握手定理）
5、证明： $\delta (G) \le \frac{2m}{n} \le \Delta (G)$
由握手定理有 $n\delta (G) \le \sum_{v∈V}d(v)=2m \le n\Delta (G)$ ,所以 $\delta (G) \le \frac{2m}{n} \le \Delta (G)$

定义：一个图的各个顶点度构成的非零数组 $(d_1, d_2, \cdots, d_n)$ 即为图的度序列。简单图的度序列也成为图序列。

性质：

1、一张图有唯一度序列，但任意一个度序列不一定能构成图，也不一定只有一张图。
2、非负数组 $(d_1, d_2, \cdots, d_n)$ 能构成图的充要条件是 $\sum d_i$ 为偶数（可以有重边，环）。
3、非负数组 $\{\pi= (d_1, d_2, \cdots, d_n), d_1 \ge d_2 \ge \cdots d_n, \sum d_i=2m\}$ 是图序列(简单图)的充要条件是 $\{\pi =(d_2-1, d_3-1, \cdots, d_{d_1+1}-1, d_{d_1+2}, \cdots, d_n )\}$ 是图序列。
4、一个简单图G的n个点的度不能互不相同。

度数为k的点数组成的序列。例如 $\pi=(6,5,4,3,2,2,2)$ ，则频序列 $f=(1,1,1,1,3)$ 。频序列即为度的分布情况。 $\sum_i(f_i)=n$ 。随机图度数服从泊松分布，无标图服从幂律分布。