图论(一) 基本概念

基础知识

排列组合公式

$\ binom {n} {k} = \ frac {n \ cdot（n-1）\ cdot（n-2）\ cdot \ cdot \ cdot（nk + 1））} {k！}$ 分子分母同时乘以（NK）得到下面的公式！;

$\ binom {n} {k} = \ frac {n！} {k！（nk）！}$ 用（NK）代替ķ得到下面的公式

$\ binom {n} {nk} = \ binom {n} {k}$

帕斯卡三角

完全图边数：n（n-1）/ 2 = $\ binom {N} {2}$

递归式： $\ binom {n} {k} = \ binom {n-1} {k-1} + \ binom {n-1} {k}$

例：假设从Ñ个人中选ķ个成立委员会，组合数为 $\ binom {N} {K}$ 。可以假设这Ñ个人中有个叫“李小怪”的人，这个委员会可以分为两种情况，有“李小怪”和没有“李小怪”。对于“李小怪”在委员会中的情况，我们只需要从第（N-1）中抽出（K-1）人即可，即 $\ binom {N-1} {K-1}$ 。对于“李小怪”没有被选为委员会的情况，我们我们只需要从第（N-1）中抽出ķ人即可，即 $\ binom {N} {K-1}$ 。

帕斯卡三角形第ň行的所有数之和为 $\ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} = 2 ^ {n}$

$\ binom {N} {K}$ 也是同时二项式系数 $（a + b）^ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k} a ^ {nk} b ^ {k}}$ 令A = 1，B = 1则得到上面的式子

还可以令a = 1，b = -1 $0 = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}（ - 1）^ k}$ ; a = 1，b = 2; $3 ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k} 2 ^ k}$ A = 1，B = X. $（1 + x）^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k} x ^ k}$

$nx（1 + x）^ {n-1} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ binom {n} {k} x ^ k}$ ，推导可以出 $\ binom {k} {k} + \ binom {k + 1} {k} + \ binom {k + 2} {k} + \ cdot \ cdot \ cdot + \ binom {k + r} {k} = \ binom {K + R + 1} {K}$ 也。就是从帕斯卡三角形第ķ行的最后一个元素开始，网左下方移动，知道第ķ+ R行，遍历的这R + 1个元素的和恰是ķ+ R行那个元素右下方数。

$\ binom {2} {2} + \ binom {3} {2} + \ binom {4} {2} + \ cdot \ cdot \ cdot + \ binom {r} {2} = \ binom {r + 1} {3}$

四面体数：一个以三角形为地基的金字塔的总点数，该金字塔第我层的点数等于第一个三角形数上面的公式表明了第 - [R个四面体数等于 $\ binom {R + 1} {3}$ 。

图的基本概念与应用

阶（点的集合的基数），

规模（边的集合的基数），

邻接（结点之间有边相连），非邻接，

完全图（所有结点对都邻接） $K_n$

结点的度（与该结点相邻的结点数），

孤立点（度为0的结点），

端结点/叶子（度为1的结点），

最小/大度（所有结点的最小/大度数），

正则图（所有结点具有相同的度数），

R-正则图（所有结点度数为R），

多重图（一个给定的结点对有多条边与之对应）

平凡图\树平凡指仅有一个结点的图

定理2.1在任何图中，结点度的总和等于边数的2倍。

UV通道，

通道的长度（边的数量），

迹（一个通道中没有重复的边。迹中结点是可以重复的），

回路（迹开始和结束于相同的结点，称该迹的英文闭的），

路（通道中没有重复的结点。路也是迹）（ $P_N$ ），

一个闭路称为圈（ $C_ {N}$ ）。

连通图（图中任意两个结点之间存在路），非连通图，

测地路线/测地线（最短的路），

连通分量（极大连通子图）

图ħ是图ģ的子图（点集和边集都为ģ子集），则图G ^是图ħ的超图（V（G）表示结点集E（G）表示边集）

图H是图G的生成子图（V（G）= V（H）），可以通过删除G的边来得到G的生成子图。

注记：对于标记图G，若 $S \ subseteq V（G）$ ，并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点，那么，G的以S为结点集的子图数为 $2 ^ķ$ ，一个有k条边的标记产品图产品有 $2 ^ķ$ 个生成子图产品产品
n个结点的完全图（ $K_n$ ）是唯一含n结点的连通（n-1） - 正则图
n个结点的圈（ $C_ {N}$ ）是唯一含n结点的2-正则图
Ñ个结点的路（ $P_N$ ）,,, $P_1 = K_1$ 的英文的生成子图产品 $P_2 = K_2$ $P_N$ $C_ {N}$
完全二分图（ $K_ {M，N}$ ）是指图的结点集可以分成两个非空集合A，B，分别有m，n个结点，A中的每个结点要与B中的每个结点关联，且都只与B中的结点相关联。星（ $K_1，正$ ）